Волновое уравнение. Уравнения и характеристики волн.

Если волна распространяется вдоль некоторого направления, то смещение частицы от положения равновесия S будет зависеть от времени t и от местоположения частицы х или r.

Для плоской волны:

Для сферической:

Графически такие волны изображают синусоидами, которые смещаются со временем (Рис.9.1), поэтому такие волны (в отличие от стоячих) называют бегущими волнами, хотя сами частицы вещества никуда не бегут, а колеблются около своего постоянного положения равновесия.

Новыми характеристиками, по сравнению с простыми колебаниями, являются фазовая скорость v, длина волны, волновое число.

Фазовой скоростьюили скоростью распространения волны v называют скорость перемещения фазы или точек пространства, где колебания находятся в одной фазе. Эта скорость равна скорости перемещения волнового фронта или скорости распространения волнового процесса. Длиной волныназывают расстояние, на которое распространяется волновой процесс за время равное периоду колебаний Т (l = vT) или кратчайшее расстояние между частицами, колеблющихся в одной фазе. Используя эти характеристики, уравнения волн можно записать следующим образом:

для плоской волны , для сферической волны ,

где k – волновое число, показывающее, сколько длин волн уложится на расстоянии в 2p метров (k = 2p/l = w/v), а ‑ волновой вектор, равный по величине волновому числу и направленный вдоль вектора фазовой скорости.

Принцип суперпозиции волн. Явление интерференции.

Если в среде распространяется одновременно несколько волн, то результирующие колебания частиц среды зависят от воздействия отдельных волн. В линейных средах выполняется принцип суперпозиции волн, согласно которому все параметры результирующего колебания (смещение, скорость, ускорение) равны сумме соответствующих параметров отдельных волн. Линейными являются все упругие среды, в которых смещения частиц от положения равновесия подчиняются закону Гука (смещение пропорционально силе, действующей на частицу).

В линейных средах, вследствие выполнения принципа суперпозиции, наблюдается явление интерференции света. Явление интерференции – это явление увеличения и уменьшения амплитуды результирующих колебаний при наложении двух или более когерентных волн, колеблющихся в одной плоскости. Когерентными называют волны, разница фаз которых не меняется со временем.Для объяснения этого явления рассмотрим случай наложения в точке М₁ или М₂ двух колебаний одной частоты, идущих от источников S₁ и S₂ (Рис.10.1).

Рис.10.1. Сложение колебаний при интерференции (в точке М₁ – усиление, в точке М₂ – ослабление колебаний).

Суммарная амплитуда в точке М:

,

где - разница фаз. Если учесть, что интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды колебаний, то после усреднения последнего уравнения получим

.

В случае сложения не когерентных волн разница фаз меняется со временем произвольным образом и среднее значение косинуса будет равно нулю и , то есть происходит обычно наблюдаемое сложение интенсивностей колебаний. Но если колебания когерентные, то разница фаз не будет меняться со временем и среднее значение косинуса не будет равно нулю. В этом случае в разных точках пространства будут различные значения суммарной амплитуды колебаний и интенсивности.

В точках, для которых