Магнитное поле контура с током.

Строгое определение характеристик магнитного поля контура с током следует из закона Био-Савара-Лапласа и принципа суперпозиции:

, (1)

. (2)

В выражениях (1) и (2) - радиус-вектор точки наблюдения, - радиус-вектор отрезка замкнутого контура, - ток, текущий в контуре (постоянный для каждого поперечного сечения контура).

Выражения (1) и (2) для точек наблюдения, расположенных на расстоянии, значительно большем, чем характерный линейный размер контура, могут быть записаны в более простой приближенной форме. При этом более отчетливо выявляется характер убывания величин (1) и (2) с удалением точки наблюдения от “точечного” контура с током. Эти зависимости имеют вид:

(3)

. (4)

В выражении (4) - оператор Гамильтона (оператор набла) в декартовой системе координат, - единичный орт направления из места расположения контура с током в точку наблюдения. Напомним, что в выражении (4) является скалярным дифференциальным оператором

,

который действует на расположенную за ним скалярную или векторную величину.

Оказывается, что векторный потенциал магнитного поля убывает с увеличением расстояния от контура с током обратно пропорционально квадрату расстояния, а поле магнитной индукции - обратно пропорционально кубу расстояния. Эти результаты удивительным образом совпадают с результатами исследования электростатического поля вдали от “точечного” диполя с электрическим моментом . Вместе с тем необходимо отметить принципиальное различие электростатического поля, образованного электрическим диполем, и магнитного поля, образованного магнитным диполем в условиях магнитостатики. Это различие иллюстрирует характер расположения силовых линий вектора напряженности электрического поля и силовых линий вектора магнитной индукции магнитного поля на рисунке 1.

Здесь слева показаны силовые линии вектора напряженности электрического поля, а справа – силовые линии магнитной индукции соответственно электрического диполя и магнитного диполя. Следует обратить внимание на различие направления соответствующих векторов в центральной части системы электрических зарядов и электрических токов. В то же время для удаленных точек наблюдения соответствие полей является полным.

Характер убывания векторного потенциала магнитного поля и характер убывания скалярного потенциала электростатического поля электрического диполя совпадают между собой: эта зависимость имеет вид закона обратных квадратов. Магнитная индукция поля магнитного диполя и напряжённость электростатического поля электрического диполя убывают по закону обратных кубов расстояния от источника поля.

Докажем справедливость приближенных выражений (3) и (4). При проведении выкладок оказывается полезной одна из форм математической теоремы Стокса:

(5)

Заметим, что интегрирование в правой части теоремы Стокса проводится по поверхности, натянутой на контур l, при этом подынтегральным выражением является результат действия векторного дифференциального оператора

на скалярную величину .

С учетом этого соотношения выражение (2) можно переписать в виде:

. (6)

Поскольку величина - скалярная величина, выражение (6) принимает вид:

. (7)

Заметим, что вычисление градиента в подынтегральном выражении (7) необходимо провести “по штрихованным переменным”:

. (8)

Соотношение (8) проверяется непосредственным вычислением.

Если учесть, что точка наблюдения расположена “далеко” от контура, т. е. зависимость в пределах изменения вдоль точек контура меняется слабо, точное соотношение (7) перепишем в форме:

, (9)

где - радиус-вектор “точки” расположения контура с током. Легко видеть, что соотношения (9) и (3) полностью совпадают друг с другом. Заметим, что соотношение (3) оказывается справедливым и для случая токов в малом объеме без предположения о том, что ток течет по тонкому контуру, это доказательство можно найти в более полных руководствах по электродинамике.

Зависимость (4) получается из зависимости (3) непосредственным вычислением, при этом необходимо помнить, что вычисляется по координатам точки наблюдения. В процессе вычислений оказывается полезной формула векторного анализа:

.

С учетом того, что является постоянной векторной величиной и легко проверяемым результатом

,

приходим к соотношению

. (10)

Далее проводим вычисления в координатной форме и записываем результат в компактной векторной форме:

Соотношения (3) и (4) доказаны.