Магнитный диполь во внешнем магнитном поле.

Магнитный диполь с величиной магнитного момента , помещенный во внешнее магнитное поле с магнитной индукцией , испытывает действие силы

(1)

момента сил

, (2)

и приобретает потенциальную энергию

(3)

аналогично электрическому диполю с электрическим моментом , помещенному во внешнее электрическое поле напряженности .

Изучим эти особенности взаимодействия магнитного момента с внешним магнитным полем более подробно. Рассмотрим малый тонкий замкнутый контур , по которому течет ток в направлении вектора . Если этот контур помещен во внешнее по отношению к нему магнитное поле с магнитной индукцией , то по выражению для силы Ампера

, (4)

можно рассчитать силу, действующую на контур в целом:

. (5)

При вычислении выражения (5) оказывается полезной обобщенная теорема Стокса (математическое утверждение):

(6)

где оператор имеет общепринятое представление. Подынтегральным выражением в формуле (6) является результат векторного произведения оператора на вектор магнитной индукции . Воспользуемся допущением, что характерный линейный размер контура с током (магнитный диполь) мал по сравнению с характерным линейным размером, на котором существенно изменяются параметры внешнего магнитного поля, и вынесем из под знака интеграла мало меняющиеся величины:

. (7)

Далее используем известное тождество векторного анализа

,

и то обстоятельство, что , и получим:

(8)

Заметим, что формула (8) отличается от подобной ей формулы для электрического диполя в электрическом поле напряженности вторым слагаемым. Дело в том, что в электростатике имеет место уравнение , а в магнитостатике имеем , поэтому только в отсутствие плотности токов , текущих в точке расположения диполя , получаем

(9)

а в общем случае справедлива формула (8). С учетом того, что величина - постоянная векторная величина, а , формулу (9) можно записать в виде:

(10)

Из полученных зависимостей следует, что результирующая сила, действующая на малый контур с током во внешнем магнитном поле, отлична от нуля только в неоднородном векторном поле магнитной индукции .

Элементарный момент силы Ампера, действующий на элемент контура с током , относительно начала координат описывается выражением:

, (11)

где - радиус-вектор расположения элемента . Для замкнутого контура имеем:

. (12)

После использования обобщенной теоремы Стокса получаем:

(13)

Вынося за знак интеграла медленно меняющиеся функции и вспоминая определение магнитного момента диполя, получаем:

. (14)

Далее используем соотношения:

и получаем:

. (15)

Последний член в правой части формулы (15) тождественно равен нулю, а второй и третий связаны с расстоянием диполя от начала координат. Если начало координат расположить в месте расположения диполя, эти члены обратятся в нуль. Только первое слагаемое формулы (15) не зависит от выбора начала координат и в силу этого представляет собой момент сил, действующий на малый замкнутый контур с током во внешнем магнитном поле с магнитной индукцией :

. (16)

Выражение (16) совпадает по форме с аналогичным выражением для момента сил, действующих на малый электрический диполь во внешнем электрическом поле напряженности . Момент обращается в ноль при условии параллельности (или антипараллельности) векторов и , т. е. если направлен строго по внешнему полю , или строго против внешнего поля . При малом отклонении вектора от направления (если это направление было состоянием равновесия) возникающий момент сил имеет “возвращающий” характер и в гармоническом приближении пропорционален углу отклонения.

Если вернуться к формуле (10), то ее структура позволит нам сделать предположение, что потенциальная функция магнитного диполя во внешнем магнитном поле имеет вид:

, (17)

где - угол между векторами и .

Ниже обсудим границы применимости соотношения (17). Вычислим дифференциал функции (17):

. (18)

Изменение потенциальной функции (18) учитывает возможность поворота вектора на угол и смещение его как целого на вектор , при этом предполагается, что модуль величины сохраняет постоянное значение. Из соотношения (18) можно получить:

(19)

В зависимости (19) сомножитель при представляет собой силу, а сомножитель при элементарном угле поворота - момент сил, действующих на магнитный диполь.

Благодаря этим результатам выражение (19) можно принять за потенциальную функцию магнитного диполя во внешнем магнитном поле.

Заметим, что в соответствии с выражением (17) потенциальная функция магнитного диполя во внешнем магнитном поле минимальна, если вектор магнитного момента диполя ориентирован по силовой линии магнитной индукции, и максимальна, если вектор магнитного момента диполя ориентирован строго против направления вектора магнитной индукции (рис. 2). Состояние системы с первой ориентацией более предпочтительное, состояние со второй ориентацией является неустойчивым.

Существенным различием проявления свойств электрического и магнитного диполей является то, что электрический диполь “внутри себя” ослабляет внешнее поле, вдоль силовой линии которого он ориентирован, а магнитный диполь усиливает внешнее поле вдоль силовой линии, если она проходит через “контур с током”, т.е. через магнитный диполь.