Скалярный и векторный потенциалы электромагнитного поля

Рассмотрим систему уравнений Максвелла

, (1)

, (2)

, (3)

. (4)

Заметим, что уравнения для «силовых» характеристик электромагнитного поля, т.е. для векторов и , (уравнения (1), (2)) являются однородными относительно искомых переменных. Последнее позволяет ввести «потенциалы электромагнитного поля». Целесообразность такого шага рассмотрим ниже.

Рассмотрим уравнение (1). Легко видеть, что оно тождественно удовлетворяется, если положить

, (5)

где – вспомогательное векторное поле, которое назовем векторным потенциалом электромагнитного поля.

Подставим соотношение (5) в уравнение (2), поменяем порядок вычисления пространственных производных (операция ) и производной по времени, перенесем все члены уравнения в левую часть и воспользуемся свойством линейности оператора rot, в итоге получим:

. (6)

Полученное уравнение представляет собой локальное условие потенциальности суммарного векторного поля , что приводит к соотношению:

, (7) поле назовем скалярным потенциалом электромагнитного поля.

Заметим, что определения векторного (5) и скалярного (7) потенциалов электромагнитного поля по своей форме записи «неявные»: требуется подобрать такие векторное и скалярное поля, чтобы выполнялись условия (5) и (7). Обратим внимание на то обстоятельство, что с введением в рассмотрение скалярного и векторного потенциалов электромагнитного поля два из четырех уравнений Максвелла обращаются в тождество, тем самым достигается значительное упрощение системы уравнений электродинамики.

Использование скалярного (7) и векторного (5) потенциалов в уравнениях (3) и (4) исходной системы уравнений Максвелла позволяет получить систему двух связанных между собой уравнений для определения полей j и . Чтобы избежать излишней сложности, затемняющей суть вопроса, ниже рассмотрим систему уравнений Максвелла для однородной изотропной среды, для которой справедливы соотношения:

. (8)

Умножим каждый член уравнения (4) на величину mm₀, введем эту величину под знак оператора rot в левой части уравнения, а в последнем члене правой части вынесем из-под знака производной по времени величину ee₀, воспользуемся известным соотношением векторного анализа:

(9)

и после несложных преобразований получим:

. (10)

В уравнении (3) используем связь векторов и , а также, определение (7). Если вспомнить известное соотношение векторного анализа

, (11)

то после несложных преобразований будем иметь:

. (12)

Значимость и практическая полезность потенциалов электромагнитного поля определяется возможностью восстановления распределений j и по известным распределениям в пространстве плотностей источников электромагнитного поля.

Введение понятий скалярного и векторного потенциалов электромагнитного поля привело к уменьшению числа искомых функций: вместо двух векторных (шесть компонент!) функций и , именно к определению их может быть сведена система уравнений Максвелла, можно рассматривать одну скалярную и одну векторную функцию, т.е. всего четыре компоненты. Платой за достигнутое «упрощение» является повышение порядка системы уравнений (10) и (12) относительно потенциалов электромагнитного поля.

Заметим, что в пределах применимости классической электродинамики потенциалы электромагнитного поля непосредственно принципиально не наблюдаемы (в отличие от «силовых характеристик» поля).

При выводе уравнений (10) и (12) не использовались дополнительные возможности, обусловленные внутренней природой (математической структурой) потенциалов электромагнитного поля. Дело в том, что физические характеристики электромагнитного поля (и , и ) в соответствии с определениями (5) и (7) позволяют выбрать потенциалы некоторым удобным для данного конкретного случая образом (неоднозначность потенциалов). Такой выбор и называют калибровкой. Основная идея калибровки потенциалов электромагнитного поля состоит в том, что поля и не должны изменяться при том или ином варианте выбора потенциалов и j.

Легко проверить, что одновременная замена потенциалов электромагнитного поля

, (13)

где – произвольная скалярная функция, не изменяет значения векторных полей и . С этой точки зрения потенциалы и j эквивалентны потенциалам и . Говорят, что физические величины и инвариантны по отношению к калибровочным преобразованиям (13). В развитие этого положения требуют, чтобы все уравнения, описывающие электромагнитное поле, обладали указанной калибровочной (или градиентной) инвариантностью. Более того, идея калибровочной инвариантности из классической электродинамики была перенесена на всю теорию поля в качестве эвристического принципа.

В электродинамике широко используется так называемая «лоренцева калибровка», в которой выполнено дополнительное условие

. (14)

Это условие действительно может быть выполнено. Если взять произвольные потенциалы и j, применить к ним преобразование (13) и потребовать для «новых» потенциалов и выполнения условия (14), то, оказывается, что для определения искомой функции f достаточно построить частное решение уравнения

, (15)

что вполне выполнимо, поскольку правая часть рассматриваемого уравнения является известной функцией координат и времени.

Из условия (14) следует

. (16)

Легко видеть, что использование лоренцевой калибровки (14) в уравнениях (10) и (12) приводит к следующему результату:

, (17)

. (18)

Если ввести в рассмотрение оператор Даламбера

 , (19)

обычно используемый при описании волновых явлений, то уравнения (17) и (18) можно представить в очень компактной форме

ÿ , (20)

 . (21)

Лоренцева калибровка потенциалов электромагнитного поля оставляет возможным наложить на выбор потенциалов еще одно дополнительное условие. Можно, например, в дополнение к условию лоренцевой калибровки (14) потребовать выполнения условия:

, (22)

что эквивалентно условию , т.е. с точностью до произвольной постоянной.

Если векторный и скалярный потенциалы электромагнитного поля удовлетворяют условиям (14) и (22), то говорят о «кулоновской» (или поперечной) калибровке. Выбор термина «кулоновская калибровка» определяется тем, что при этом уравнение (21) приобретает вид:

. (23)

Это уравнение Пуассона для скалярного потенциала j – основное уравнение для одного из разделов электродинамики, раздела «электростатика», в котором кулоновское взаимодействие играет центральную роль. В силу того, что , правая часть уравнения (23) тоже должна быть функцией только пространственных координат: .

Как можно убедиться, цепочка следствий из предположения (22) достаточно велика и следствия весьма нетривиальны.

Подведем некоторые итоги.

Во-первых, заметим, что уравнения (20) и (21) не полностью эквивалентны системе уравнений Максвелла, но по внешнему виду проще: формально их можно рассматривать раздельно, структура их решений одинакова в силу того, что структура уравнений идентична. В учебной и научной литературе по электродинамике этому обстоятельству придается большое значение. Вместе с тем заметим, что раздельное, независимое рассмотрение уравнений (20) и (21) приводит к более широкому набору возможных решений, чем это допускает система уравнений Максвелла. В качестве примера можно рассмотреть вопрос о плоских электромагнитных волнах в вакууме. Система уравнений Максвелла для непроводящей изотропной среды позволяет выявить такие свойства электромагнитной волны как поперечность, взаимную ортогональность векторов напряженности электрического поля и напряженности магнитного поля , совпадение фаз процессов колебаний в рассматриваемой точке пространства и т.д. В то же время система уравнений (20) и (21) позволяет только сделать вывод о том, что распространение возмущений скалярного поля j и векторного поля происходит с одинаковой фазовой скоростью. Но если к анализу привлечь ещё и условие лоренцевой калибровки (14), то можно получить все результаты электродинамики в отношении рассматриваемого типа волн.

Во-вторых, структура уравнений, описывающих потенциалы электромагнитного поля и j в форме (20) – (21) с очевидностью выявляет волновую природу электромагнитного поля, что подтверждает выполнение принципа близкодействия как основы электродинамики. Возможность нетривиальных решений уравнений (20)-(21) для вакуума позволяет говорить о физической реальности электромагнитного поля.

В-третьих, форма записи уравнений (20) и (21) для потенциалов наглядно выявляет объёмные источники соответствующих полей - и , т.е. объёмную плотность электрического заряда и объёмную плотность тока проводимости.

В-четвертых, определенная законченность и симметрия формы уравнений (20)-(21) не могут не рождать чувства эстетического удовлетворения.

Замечание. Все рассуждения настоящего раздела не затрагивали так называемых граничных условий, постановка которых необходима при описании электромагнитного поля в ограниченной области пространства (в безграничной области чаще всего подразумевается, что эти условия «на бесконечности» однородные). В реальных ситуациях дополнительно оказывается, что решения «независимых» между собой уравнений (20) – (21) взаимосвязаны из-за того, что граничные условия являются «комбинированными»: они, как правило, содержат и , и j (и, возможно, их производные). Последнее затрудняет решение практической задачи нахождения полей и j, следовательно, и полей и .

В заключение раздела ещё раз подчеркнем важность требования калибровочной инвариантности системы уравнений для потенциалов электромагнитного поля и то обстоятельство, что условие лоренцевой калибровки является полноправной обязательной частью системы уравнений классической электродинамики, записанной для потенциалов электромагнитного поля.