Примеры решения задач по функциям

Задача 1. Пусть – последовательность измеримых на X функций. Тогда , измеримы на X.

Решение. Обозначим через h(x) = . Измеримость h(x) означает, что для " c Î R измеримы множества . Покажем, что = , что и будет означать измеримость h. Пусть , т.е. h(x)>c. Тогда h(x)>c+e при достаточно малом e > 0. По определению точной верхней границы найдётся такой номер n₀, что >h(x)–e. Отсюда >(c+e)-e=с и потому , а тем более, .

С другой стороны, пусть . Это значит, что найдётся такой номер n₀, что > c. Но тогда h (x) ³ > c, т.е. . Равенство доказано. Аналогично доказывается измеримость .

Задача 2. Определим функцию f(x) на [0,1] следующим образом. Если x = 0,n₁n₂… – десятичная запись числа x, то .

Решение. Рассмотрим множество чисел отрезка [0,1], в десятичной записи которых присутствует цифра 9. Мера данного множества равна . Следовательно, функция f(x) равна 9 почти всюду. Функция f(x) измерима как постоянная функция.

Задача 3. Доказать, что функция f измерима тогда и только тогда, когда измерима функция sin f.

Решение. Обозначим через g(x) = sin x, тогда при измеримости функции f имеем h(x) = g(f(x)) = sin f – композиция непрерывной и измеримой и поэтому sin f будет измеримой. С другой стороны, пусть измерима функция h(x) = sin f(x), покажем, что измерима функция f(x). Измеримость sin f означает, что для "с Î R измеримо множество {f(x):sinf(x)>c} =

Таким образом, измеримыми являются пустое множество, числовая прямая и для "c Î R множество , arccos c Î[0,p].

Задача 4. Доказать, что функция y = f(x), x Î R измерима на R, если 1) f(x) = sin[x]; 2) f(x)= .

Решение. 1) Функция f(x) принимает счётное число значений sink, kÎZ. А именно, , если x Î A_k= [k, k+1[ и =R. Так как промежутки A_k являются измеримыми, то f(x) является простой функцией и, следовательно, измеримой.

2) Члены рассматриваемого ряда являются непрерывными функциями и поэтому измеримы. Если x³ 0, то эквивалентность при n®¥ позволяет сделать вывод о равномерной сходимости этого функционального ряда для x ³ 0. Аналогично, если x>0, то при n®¥, и поэтому для x>0 ряд сходится равномерно. Тогда его сумма является непрерывной, а значит, измеримой функцией.

Задача 5. Доказать, что функция z = f(x, y), (x, y) Î R² является измеримой на R², если f(x,y)= .

Решение. Поскольку функции z=[xy] и z=[x²+y²] простые, то они измеримы на плоскости. Измеримой для каждого номера n является функция . Из сходимости функционального ряда (что устанавливается с помощью признака сравнения) следует измеримость на R² функции f(x,y).

Задача 6. Для функции f построить последовательность простых измеримых функций, равномерно сходящуюся к f, если

Решение. Исходя из теоремы, для измеримой конечной на множестве A функции f(x) последовательность простых измеримых функций строится так: для каждого целого k на множестве . Поэтому для x £ 0 полагаем f_n(x)=0, а на множествах {x > 0 : } = {x>0 : }, k = 0,1,…,n –1 полагаем .

Задача 7. Доказать, что при n®¥ последовательность f_n(x)=sinⁿpx+cosⁿpx сходится к нулю почти всюду на R относительно меры Лебега.

Решение. При тех xÎR, для которых |sin px|px|<1, имеем , . Если же xÎR таково, что sin px = ±1 (или cos px = ±1), то предел функции sinⁿpx (соответственно cosⁿpx) равен единице или не существует. Таким образом, рассмотрим множество A₀={xÎR: sin px=±1 или cos px = ±1} = {k : kÎZ}Ç{1/2+k : kÎZ}. Множество A₀ – счётное (как объединение двух счётных множество) и поэтому m(A₀)=0. Тогда для каждой точки xÎR\A₀ , и, следовательно, почти всюду последовательность f_n(x) сходится к f(x)=0.

Задача 8. Для последовательности f_n(x)=xⁿ, xÎ[0,1] указать множество, на котором f_n(x) сходится равномерно, причём мера множества, на котором нет сходимости, может быть сделана сколь угодно малой.

Решение. Рассмотрим произвольное d > 0. Если d ³1, то в качестве X_d возьмём, например, отрезок [0, 1/2]. Тогда m(A_d) = =1/2>m(X)–d = 1–d, где X=[0,1]. , т.е. на [0,1/2] последовательность равномерно сходится к функции f(x)=0. Если же d<1, то положим X_d = [0,1-d/2], тогда m(X_d)=1-d/2>m(X)-d=1-d, т.е. m(X\X_d) = = 0.

Задача 9. Исследовать на сходимость по мере к функции f на измеримом множестве A следующие последовательности:

1) f_n(x)=xⁿ, xÎ[0,1],

2) f_n(x)=cosⁿx, xÎR.

Решение. 1) Рассмотрим для " d > 0 измеримое множество {xÎ[0,1] : xⁿ ³ d} = [ ,1]. Отметим, что когда d > 1, то множество пусто. Тогда = = 0 и поэтому на [0,1]. С другой стороны, xⁿ ® 0 почти всюду (см. пример), тогда по мере.

2) Пусть d £ 1, тогда . Значит m {x Î R : } = = +¥. Поэтому заданная последовательность не сходится по мере.

Задание 1. Пусть X = [-1,1[, на X задана мера Лебега. Выяснить, является ли функция f: 1)измеримой; 2)ограниченной; 3)простой. Найти все её точки непрерывности и точки разрыва. Построить эквивалентную функцию с минимальным множеством точек разрыва.

1.1.