Применение теоремы Гаусса к расчету некоторых электростатических полей в вакууме

1. Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости. Бесконечная плоскость (рис. 126) заряжена с постоянной поверхностной плотностью — заряд, приходящийся на единицу поверхности). Линии напряженности перпендикулярны рассматриваемой плоскости и направлены от вее в обе стороны. В качестве замкнутой поверхности мысленно построим цилиндр, основания которого параллельны заряженной плоскости, а ось перпендикулярна ей. Так как образующие цилиндра параллельны пиниям напряженности (cosα=0), то поток вектора напряженности сквозь боковую поверхность цилиндра равен нулю, а полный поток сквозь цилиндр равен сумме потоков сквозь его основания (площади оснований равны и для основания Еn совпадает с Е), т. е. равен 2ЕS. Заряд, заключенный внутри построенной цилиндрической поверхности, равен . Согласно теореме Гаусса (81.2), , откуда

(82.1)

Из формулы (82.1) вытекает, что Е не зависит от длины цилиндра, т. е. напряженность поля на любых расстояниях одинакова по модулю, иными словами, поле равномерно заряженной плоскости однородно.

Рис. 126

2. Поле двух бесконечных параллельных разноименно заряженных плоскостей (рис. 127). Пусть плоскости заряжены равномерно разноименными зарядами с поверхностными плотностями +σ и -σ. Поле таких плоскостей найдемкак суперпозицию полей, создаваемых каждой из плоскостей в отдельности. На рисунке верхние стрелки соответствуют полю от положительно заряженной плоскости, нижние — от отрицательной плоскости. Слева и справа от плоскостей поля вычитаются (линии напряженности направлены навстречу друг Другу), поэтому здесь напряженность поля £=0. В области между плоскостями Е=Е₊+Е-. (Е₊ и Е_- определяются по формуле (82.1)), поэтому результирующая напряженность

(82.2)

Таким образом, результирующая напряженность поля в области между плоскостями описывается формулой (82.2), а вне объема, ограниченного плоскостями, равна нулю.

Рис. 127

3. Поле равномерно заряженной сферической поверхности. Сферическая поверхность радиуса R с общим зарядом Q, заряжена равномерно споверхностной плотностью +δ. Благодаря равномерному распределению заряда по поверхности поле, создаваемое им, обладает сферической симметрией. Поэтому линии напряженности направлены радиально (рис. 128). Построим мысленно сферу радиуса г, имеющую общий центр с заряженной сферой. Если г>R, то внутрь поверхности попадает весь зарядQ, создающий рассматриваемое поле, и, по теореме Гаусса (81.2), , откуда

(82.3)

При г>R поле убывает с расстоянием г по такому же закону, как у точечного заряда. График зависимости E от г приведен на рис. 129. Если г'<R, то замкнутая поверхность не содержит внутри зарядов, поэтому внутри равномерно заряженной сферической поверхности электростатическое поле отсутствует (Е=0).

Рис. 128 Рис. 129

4. Поле объемно заряженного шара.Шар радиуса R с общим зарядом Q, заряжен равномерно с объемной плотностью р ( — заряд, приходящийся на единицу объема). Учитывая соображения симметрии (см. п. 3), можно показать, что для напряженности поля вне шара получится тот же результат, что и в предыдущем случае (см. (82.3)). Внутри же шара напряженность поля будет другая. Сфера радиуса г'<R охватывает заряд . Поэтому, согласно теореме Гаусса (81.2), . Учитывая, что , получаем

(82.4)

Таким образом, напряженность поля вне равномерно заряженного шара описывается формулой (82.3), а внутри его изменяется линейно с расстоянием г. согласно выражению (82.4). График зависимости Е от г для рассмотренного случая приведен на рис. 130.

Рис. 130

5. Поле равномерно заряженного бесконечного цилиндра (нити). Бесконечный цилиндр радиуса R (рис. 131) заряжен равномерно с линейной плотностью τ ( - заряд, приходящийся на единицу длины). Из соображений симметрии следует, что линии напряженности будут направлены но радиусам круговых сечений цилиндра с одинаковой густотой во все стороны относительно оси цилиндра. В качестве замкнутой поверхности мысленно построим коаксиальный заряженный цилиндр радиуса г и высотой l. Поток вектора Е сквозь торцы коаксиального цилиндра равен нулю (торцы параллельны линиям напряженности), а сквозь боковую поверхность равен . По теореме Гаусса (81.2), при г>R , откуда

(82.5)

Если г<R, то замкнутая поверхность зарядов внутри не содержит, поэтому в этой области Е=0. Таким образом, напряженность поля не равномерно заряженного бесконечного цилиндра определяется выражением (82.5), внутри же его поле отсутствует.

Рис.131