Коэффициент теплопроводности

Коэффициент пропорциональности l в уравнении (1.6) на­зывается коэффициентом теплопроводности. Он является физи­ческим параметром вещества и характеризует его способность проводить теплоту.

Размерность .

Значения l для различных веществ определяются опытным путем и для большинства веществ зависят от температуры. Для инженерных расчетов значения l берутся из таблиц физических свойств

Металлы: = 3 ¸ 458 Вт/(м×град). Теплоту в металлах пере­носят свободные электроны.

Диэлектрики (теплоизоляционные, огнеупорные и строительные материалы): = 0,02 ¸ 3,0 Вт/(м×град).

Капельные жидкости: = 0,08 до 0,65 Вт/(м×град).

Газы: = 0,005 ¸ 0,6 Вт /(м×град). Перенос теплоты определяется переносом кинетической энергии в результате хаотического движения и столкновения молекул.

Дифференциальное уравнение теплопроводности

Для определения количества переданной теплоты необходимо знать коэффициент теплопроводности материала и значение тем­пературного градиента, т.е. тем­пературное поле. Для описания температурного поля используют дифференциальное уравнение теплопроводности Фурье, которое имеет вид

(1.7)

Наибо­лее простое соотношение получается, если , т.е. когда внутренние источники теплоты отсутствуют.

В цилиндрических координатах уравнение (1.7) записыва­ется следующим образом:

(1.8)

где r - радиус-вектор; - полярный угол; z - аппликата.

Коэффициент пропорциональности а (м²/с) есть физический параметр вещества, он называется коэффициентом температуропроводности

(1.9)

где c – удельная массовая теплоемкость, Дж/кг К;

r - плотность, кг/м³.

Коэффициент температуропроводности существенен для нестационарных тепловых процессов и характеризует скорость изменения температуры, т.е. является мерой теплоинерционных свойств тела. При этом, чем больше a, тем быстрее меняется во време­ни температура.

Для обозначения суммы вторых производных по координатам используют символ , называемый оператором Лапласа.

Для стационарного температурного поля изменение температуры от времени не происходит и при дифференциальное уравнение теплопроводности упрощается:

Условия однозначности решения

Дифференциальное уравнение Фурье описывает явление передачи теплоты теплопроводностью в самом общем ви­де. Чтобы применить его к конкретному случаю, необходимо задать условия однозначности, или краевые условия:

1. геометрическую форму и размеры тела;

2. физи­ческие параметры среды и тела;

3. начальные условия (распределение температуры в теле в начальный момент времени);

4. граничные условия, характеризующие взаимодействие тела с окружающей средой.

Начальные условия необходимы при рассмотрении нестационарных процессов и состоят в задании закона распределе­ния температуры внутри тела в начальный момент времени. В общем случае начальное условие аналитически может быть запи­сано следующим образом:

при (1.10)

Граничные условия могут быть заданы несколькими спосо­бами.

А. Граничные условия 1-го рода.

Задается распределение температуры на поверхности те­ла для каждого момента времени:

(1.11)

где t_с - температура на поверхности тела; х, у, z - координаты поверхности тела.

В частном случае: .

Б. Граничные условия 2-го рода

Задаются величины плотности теплового потока для каж­дой точки поверхности тела и любого момента времени.

(1.12)

где q_П - плотность теплового потока на поверхности тела.

В простейшем случае

В. Граничные условия 3-го рода

Задается температура окружающей среды t_ж и закон теп­лообмена между поверхностью тела к окружающей средой. Для этого чаще всего используется закон Ньютона – Рихмана, согласно которому ко­личество теплоты, отводимое через единицу поверхности тела в едини­цу времени, пропорционально разности температур поверхности тела t_с и окружающей среды t_ж

, (1.13)

где - коэффициент пропорциональности, называемый коэффи­циентом теплоотдачи, Вт/(м²×град); он характеризует интенсивность теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой.

Согласно закону сохранения энергии количество теплоты, ко­торое отводится с единицы поверхности в единицу времени вследствие теплоотдачи (1.13), должно равняться теплоте, подводимой к единице поверхности в единицу времени вследствие тепло­проводности из внутренних объемов тела (1.6), т.е.

где n - нормаль к поверхности тела.

Окончательно граничные условия 3-го рода можно записать в виде:

(1.14)

Вся сложность вопроса о теплообмене между телом и окружающей средой заключается в определении величины при конкретных условиях задачи.

Г. Граничные условия 4-го рода

Задаются условия теплообмена системы тел при их непосредственном контакте по закону теплопроводности. Предполагается, что между телами осуществляется идеальный контакт (температуры соприкасающихся поверхностей одинаковы).

При этом имеет место равенство тепловых потоков, про­ходящих через поверхность контакта, т.е.

(1.15)

1.2. СТАЦИОНАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

1.2.1. Передача теплоты теплопроводностью через стенку (граничные условия 1 рода)

Рассмотрим передачу теплоты через однородную плоскую стенку толщиной d с постоянным коэффициентом теплопроводности (рис.1.2.). На наружных поверхностях стенки поддерживаются постоянные температуры t_C1 и t_C2.

Рис. 1.2. Однослойная плоская стенка	Рис. 1.3. Многослойная плоская стенка

Температура изменяется только в направлении оси x. В этом случае температурное поле одномерное, изотермические поверхности плоские и располагаются перпендикулярно оси х. Тогда дифференциальное уравнение теплопроводности примет вид

. (1.16)

Граничные условия:

при x = 0 t = t_C1 ; при х = d t = t_C2 .

Решая это уравнение, получим t = C₁x +C₂.

Постоянные интегрирования C₁ и C₂ определяются из граничных условий:

если x = 0, то C₂ = t_C1;

если х = d, то .

Распределение температуры в плоской стенке в этом случае происходит по уравнению прямой линии

. (1.17)

Для рассматриваемой стенки плотность теплового потока будет равна

. (Вт/м²) (1.18)

Тепловой поток Q, который передается через поверхность стенки F за единицу времени

. (1.19)

Для многослойной плоской стенки (рис. 1.3) плотность теплового потока будет определяться из выражения

,

откуда . (1.20)

По аналогии для стенки, состоящей из n слоев

. (1.21)

Отношение (Вт/(м²×град) называется тепловой проводимостью стенки, а обратная величина (м².град/Вт) - тепловым или термическим сопротивлением стенки (внутреннее сопротивление).

Для определения теплового потока и закона распределения температуры в цилиндрической стенке уравнение (2.3) записывается в цилиндрической системе координат (для стационарного режима)

. (1.22)

Для однородной цилиндрической стенки неограниченной длины задача будет одномерной

. (1.23)

Тогда при заданных температурах на поверхностях (граничных условиях 1 рода) решение будет иметь вид

, (1.24)

т.е. температура внутри цилиндрической стенки изменяется по логарифмической кривой.

Количество теплоты, проходящей через цилиндрическую стенку в единицу времени

. (1.25)

Для многослойной цилиндрической стенки выражение (1.25) принимает вид

. (1.26)

В расчетах может определяться плотность теплового потока через единицу длины цилиндрической поверхности (Вт/м), единицу внутренней или внешней поверхности (Вт/м²).

Для цилиндрической стенки линейная плотность теплового потока (на 1 м длины) определяется

(Вт/м) (1.27)

а внутреннее тепловое сопротивление имеет вид .

1.2.2. Теплопередача через стенку от одной среды к другой (граничные условия 3 рода)

Передача теплоты от одной подвижной среды (газа иди жид­кости) к другой через разделяющую их твердую стенку любой формы называется теплопередачей. Теплопередача включает в себя теплоотдачу от более горячей жидкости к стенке, теплопроводность в стенке, теплоотдачу от стенки к более холодной подвижной среде.

На рис. 1.4 показано распределение температуры при передаче теплоты от одной среды к другой при наличии между ними однослойной стенки. Количество теплоты, передаваемой от среды к стенке (или наоборот) по закону Ньютона - Рихмана пропорционально разности между средней температурой среды и температурой поверхности стенки и величине поверхности стенки

. (1.28)

Коэффициент пропорциональности a ( ) в уравнении (1.28) называется коэффициентом теплоотдачи. С учетом полученных ранее выражений для определения количества теплоты теплопроводностью через плоскую стенку и выражения (1.28), можно представить разность температур между средами при стационарном режиме в виде

,

где и - коэффициенты теплоотдачи от среды к стенке или от стенки к среде (см. рис. 1.4).

Рис. 1.4. Теплопередача через плоскую стенку	Рис. 1.5. Теплопередача через цилиндрическую стенку

При наличии в стенке нескольких слоев, имеющих разную толщину и изготовленных из различных материалов, изменяется ве­личина ее суммарного теплового сопротивления, поэтому уравне­ние для определения количества теплоты, передаваемой через мно­гослойную стенку, записывается в виде:

(1.29)

где - толщина отдельных слоев, м; - коэффициент теплопроводности слоев, Вт/(м×град).

В уравнении (1.29)

(1.30)

называется коэффициентом теплопередачи плоской стенки. Чис­ленно он равен количеству теплоты, передаваемой через 1 м² поверхности стенки в течение 1 секунды при разности температур сред, омывающих стенку, в 1^о.

Тогда плотность теплового потока через плоскую стенку равна

. (1.31)

Для многослойной стенки

. (1.32)

Разность температур ( ) называют температурным напором , а величину К= - коэффициентом теплопередачи ( ). В этом случае

и (1.33)

Коэффициент теплопередачи характеризует плотность теплового потока, передаваемого через единицу поверхности при температурном напоре 1°С.

Величина k может быть выражена также через сумму термических сопротивлений первой среды, стенки и второй среды. Отношение (м²×град/Вт) называется тепловым сопроти­влением теплоотдачи (внешнее сопротивление). Сумма сопротивлений в знаменателе пред­ставляет собой полное тепловое сопротивление теплопередачи

,

которое складывается из частных термических сопротивлений

; и .

Рассмотрим аналогичные условия передачи теплоты через однослойную цилиндрическую стенку (рис.2.4). Будем полагать, что длина трубы велика по сравнению с толщиной стенки. Тогда потерями теплоты с торцов цилиндра (трубы) можно пренебречь. Для цилиндрической стенки величину теплового потока удобно относить к единице длины цилиндра, т.е. определять линейную плотность теплового потока.

Для этих условий можно записать

или, выразив из этих уравнений разности температур и суммируя их, получим

. (1.34)

Величина К = (1.35)

называется линейным коэффициентом теплопередачи цилиндрической стенки, .

Если тепловой поток через цилиндрическую стенку отнести к единице внутренней или наружной поверхности, то получим

и ,

где , (1.36)

. (1.37)

Для многослойной стенки:

(1.38)

где

, (Вт/м) - (1.39)

полный линейный коэффициент теплопередачи.

Величина , обратная коэффициенту теплопере­дачи, является полным линейным тепловым сопротивлением многослойной цилиндрической стенки:

(1.40)

В ряде случаев на практике ставится задача интенсификации теплообмена. Определяющей величиной при этом является коэффициент теплопередачи. Рассмотрим влияние отдельных факторов на значение k на примере плоской стенки, для которой

.

При (что справедливо для тонких стенок с большим значением l)

.

Пример:

Если a₁=1000 Вт/м² К, a₂=10 Вт/м² К, то по формуле (2.23) k < 10, откуда следует, что k не может быть больше самого малого a. Следовательно, для повышения k необходимо стремиться к увеличению меньшего по значению a.

При передаче теплоты через цилиндрическую стенку термические сопротивления определяются не только значениями a, но и размерами самих поверхностей ( ; ), следовательно, одним из способов интенсификации теплообмена может служить оребрение поверхностей. При этом, если a₁>>a₂, то оребрение поверхности выполняется со стороны a₂ (меньшего) до тех пор, пока a₂F₂ не достигнет значения a₁F₁. В полной мере это относится ко всем видам поверхностей.

1.3. НЕСТАЦИОНАРНАЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ

Процессы теплопроводности, когда поле температуры внутри тела изменяется не только в пространстве, но и во времени, называют нестационарными. Они имеют место при нагревании (охлаждении) различных заготовок и изделий, производстве стекла, обжиге кирпича, пуске и останове различных теплообменных устройств, энергетических агрегатов и т. д.

Среди практических задач нестационарной теплопроводности важней­шее значение имеют две группы процессов: а) тело стремится к тепловому равновесию; б) температура тела претерпевает периодические изменения.

К первой группе относятся процессы нагрева или охлаждения тел, помещенных в среду с заданным тепловым состоянием, например, прогрев металлических заготовок в печи, охлаждение закаливаемой детали и т. п. Ко второй группе относятся процессы в периодически действующих подогревателях, например, тепловой процесс регенераторов, насадка которых то нагревается дымовым газами, то охлаждается воздухом.

На рис. 1.6 показан характер кривых, полученных при нагревании однородного твердого тела в среде с постоянной температурой t_ж.

По мере нагрева температура в каждой точке асимптотически приближается к температуре греющей среды. Наиболее быстро изменяется температура точек, лежащих вблизи поверхности тела. С увеличением времени прогрева эта разность будет уменьшаться и теоретически через достаточно большой отрезок времени она будет равна нулю.