Глава 4 СТОИМОСТЬ ДЕНЕГ ВО ВРЕМЕНИ И ДИСКОНТНЫЙ АНАЛИЗ ДЕНЕЖНЫХ ПОТОКОВ

В этой главе...

• Концепции начисления сложных процентов, дисконтирования, будущей и приведенной стоимости

• Применение этих концепций в ходе принятия финансовых решений

Содержание

4.1. Сложные проценты

4.2. Частота начисления сложных процентов

M 4.3. Приведенная стоимость денег и дисконтирование

M 4.4. Правила инвестирования на основе дисконтирования денежных потоков

M 4.5. Множественные денежные потоки

M 4.6. Аннуитеты

4.7. Пожизненная рента

M 4.8. Амортизация кредитов

4.9, Валютные курсы и стоимость денег во времени

M 4.10. Инфляция и анализ на основе дисконтирования денежных потоков

4.11. Налоги и инвестиционные решения

Как мы узнали из первой главы, при принятии финансовых решений необходимо учитывать разнесенные во времени расходы и доходы. Людям, принимающим финансовые решения в фирмах и домохозяйствах, нужно думать о том, оправдано ли сегодняшнее вложение денег ожидаемыми выгодами в будущем. Для этого необходимо верное понимание концепции стоимости денег во времени (time value of money, TVM) и метода дисконтирования денежных потоков, или метода ДДП (discounted cash flow, DCF), которые представлены в этой главе.

Концепцию стоимости денег во времени (TVM) можно объяснить следующим образом: деньги (доллар, марка или иена) сегодня стоят больше, чем такая же сумма, которую вы ожидаете получить в будущем. Существует, как минимум, три причины, по которым это утверждение правдиво. Первой причиной является то, что эти деньги вы можете инвестировать, получить проценты, и денег у вас в конце концов станет больше. Вторая причина заключается в следующем — покупательная способность денег со временем может упасть из-за инфляции. Третья — в получении денег в будущем нельзя быть до конца уверенным.

В этой главе мы расскажем о том, каким образом учитывать первый фактор: процент. Об инфляции и неопределенности мы расскажем в следующих главах.

4.1. СЛОЖНЫЕ ПРОЦЕНТЫ

Мы начинаем изучение стоимости денег во времени и анализа дисконтированных денежных потоков с понятия сложных процентов. С помощью вычисления сложных процентов совершается процесс перехода от приведенной, или, как еще говорят, текущей стоимости (present value) денег, (PV) к будущей стоимости (future value) (FV). Будущая стоимость — это сумма, которой будут равняться инвестированные деньги к определенной дате с учетом начисления сложных процентов. Например, предположим, что вы положили 1000 долл. (PV) на банковский счет из расчета процентной ставки в 10% годовых. Сумма, которую вы получите через пять лет при условии, что не возьмете ни цента до истечения этого срока, называется будущей стоимостью 1000 долл. из расчета ставки процента 10% годовых и срока инвестирования пять лет.

Давайте определим наши термины более точно:

PV — приведенная стоимость, или начальная сумма на вашем счете. В данном примере 1000 долл.

i – процентная ставка, которая обычно выражается в процентах в год. Здесь 10% (или 0,10 в десятичном представлении).

п — количество лет, на протяжении которых будут начисляться проценты.

FV— будущая стоимость через п лет.

Теперь рассчитаем будущую стоимость в этом примере поэтапно. Во-первых, сколько денег у вас будет по окончании первого года? У вас будет 1000 долл., с которых начиналась данная финансовая операция, плюс проценты в размере 100 долл. (10% от 1000 долл. или 0,1х1000 долл.). Будущая стоимость ваших денег, таким образом, будет равняться 1100 долл.:

FV = 1000 долл. х 1,10 = 1100 долл.

Если вы оставите 1100 долл. еще на один год, то сколько денег вы получите по окончании второго года? На протяжении второго года вы заработаете 10% от 1100 долл. Таким образом сумма начисленных процентов будет равна 0,10 х 1100 долл., или 110 долл. Значит, к концу второго года вы будете счастливым обладателем 1210 долл.

Для того чтобы получить ясное представление о природе сложных процентов, мы можем разбить будущую стоимость (1210 долл.) на три составляющие. Первая часть— это исходные 1000 долл. Следующим компонентом будут проценты, начисленные на эту сумму, — 100 долл. за первый год и еще 100 долл. за второй год. Проценты, начисленные на основную сумму вклада, называются простыми процентами (simple interest) (200 долл. в нашем примере). И наконец, есть еще проценты в размере 10 долл., полученные во второй год, которые были начислены на 100 долл., полученных в виде процентов за первый год. Проценты, начисленные на уже выплаченные проценты, называются сложными процентами (compound interest). Общая сумма процентных начислений (210 долл.) состоит из простых процентов (200 долл.) и сложных процентов (10 долл.).

Фактически вас не беспокоит то, сколько из общей суммы в 210 долл. приходится на простые проценты, а сколько — на сложные. Все, что вы действительно хотите знать, так это то, сколько денег будет на вашем счете в будущем. Самый простой способ расчета будущей стоимости к концу второго года заключается в умножении начальной суммы на коэффициент 1,1 (здесь мы опускаем нуль из 1,10 для того, чтобы упростить наше уравнение) и затем еще раз умножаем на 1,1:

FV =10070 долл. х 1,1х1,1 =1000 долл. х 1,1 =1210 долл.

Через три года у вас будет

FV = 1000 долл. х 1,1 х 1,1х1,1=1000 долл. х 1,13 =1331 долл.

Следуя этой цепочке рассуждений, мы можем найти будущую стоимость' через;

пять лет с помощью повторного умножения:

1000 долл. х 1,1 х 1,1х1,1 х 1,1 х 1,1 =1000 долл. х1,15= 1610,51 долл.

Итак, теперь мы можем ответить па поставленный вопрос. Будущая стоимость 1000 долл. через пять лет при ставке ссудного процента 10% годовых составляет 1610,51 долл. Общая сумма процентных начислений за пять лет составляет 610,51 долл., из нее 500 долл. являются простыми процентами и 110,51 долл. —- сложными.

Контрольный вопрос 4.1

Если процентная ставка в предыдущем примере составляет всего5-годовых, то какова будущая стоимость? Сколько составят простые и сложные проценты?

Для того чтобы лучше понять начисление сложных процентов, посмотрите на табл. 4.1, которая показывает рост денег на вашем счете на протяжении пяти лет. Таблица ясно показывает, что общая сумма процентов, начисляемых каждый год, равна сумме в начале года, умноженной на процентную ставку в размере 10%. Если, используя данные из таблицы, построить диаграмму на рис. 4.1, то мы увидим, что рост вклада происходит отчасти благодаря сложным процентам, а отчасти — простым. Хотя совокупная величина простых процентов вырастает каждый год на одну и ту же сумму (100 долл.), совокупная величина сложных процентов с каждым годом увеличивается на все большую сумму- Происходит это потому, что сложные проценты рассчитываются как 10% от всех ранее начисленных процентов.

Таблица 4.1. Будущая стоимость и сложные проценты

Годы

Вклад в начале года (долл.)

Начисленные проценты (долл.)

Вклад в конце года (долл.)

1000,00

100,00

1100,00

1100,00

110,00

1210,00

1210,00

121,00

1331,00

1331,00

133,10

1464,10

1464,10

146,41

1610,51

Сумма процентных начислений

610,51

Примечание. Табл. 4.1 и рис. 4.1. показывают будущую стоимость 1000 долл. при ставке процента 10% годовых, Простые проценты в диаграмме – это накопленная сумма процентов, исходя из 100 долл., за год. Сложные проценты в диаграмме – это общая сумма всех сложных процентов начисленных до этого времени.

В общем говоря, если i — процентная ставка и и — количество лет, то будущую стоимость 1000 долл. можно узнать с помощью формулы:

FV=1000(1+i)n (4.1)

Выражение в скобках в формуле (4.1), на которое умножается величина PV (1000 долл.), является будущей стоимостью 1 долл. и называется коэффициентом будущей стоимости (future value factor). В нашем примере он равняется 1610,51. Формула для вычисления коэффициента будущей стоимости достаточно простая:

Коэффициент будущей стоимости = (1 + i)n

Будущую стоимость любой вложенной на пять лет суммы денег при ставке процента !0% годовых можно найти, умножив ее на коэффициент будущей стоимости (1610,51). Таким образом, будущая стоимость 500 долл., помещенных сроком на пять лет в банк при условии выплаты процентов из размера ссудной ставки 10% годовых, будет следующей: 500 долл. х 1610,51 = S04.254 долл. Коэффициент будущей стоимости тем больше, чем выше процентная ставка и чем дольше срок, на который кладутся деньги. Табл. 4.2 и рис. 4.2 показывают эту связь для разных процентных ставок и для разных сроков вклада.

Количество периодов

Рис. 4.1. Диаграмма будущей стоимости и сложных процентов

4.1.1. Расчет будущей стоимости

На практике существует множество способов вычисления будущей стоимости, которые мы можем проиллюстрировать примером расчета будущей стоимости 1000 долл. при процентной ставке 10% годовых и для периода в пять лет.

1. Мы можем просто умножить 1000 на 1,1 пять раз:

1000 долл. х 1,1х1,1х1,1х1,1х1,1 = 1610,51 долл.

Этот метод хорош в случае, если срок вклада не очень велик. Но если количество периодов (п) увеличивается, этот метод становится утомительным. Если у вас есть калькулятор с клавишей у, вы можете просто посчитать:

1000 долл.х1,15 =1610,51 долл.

Таблица 4.2. Будущая стоимость 1 долл. при разных сроках вклада и разных процентных ставках.

Процентная ставка

Количество периодов, n

2%

4%

6%

8%

10%

12%

1,0200

1,0400

1,0600

1,0800

1,1000

1,1200

1,0404

1,0816

1,1236

1,1664

1,2100

1,2544

1,0612

1,1249

1,1910

1,2597

1,3310

1,4049

1,0824

1,1699

1,2625

1,3605

1,4641

1,5735

1,1041

1,3167

1,3382

1,4693

1,6105

1,7623

1,2190

1,4802

1,7908

2,1589

2,5937

3,1058

1,3459

1,В009

2,3366

3,1722

4.1772

4,4736

1,4859

2,1911

3,2071

4,6610

6,7275

9,6463

Примечание. Табл. 4.2 и рис, 4,3 показывают будущую стоимость 1 долл. для разных периодов времени при разных процентных ставках. Чем выше процентная ставка, тем быстрее растет будущая стоимость. Общая формула для расчета будущей стоимости в расчете на 1 долл.:

FV= (1 + i)n

где i—процентная ставка, выраженная десятичной дробью, a n— количество периодов.

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 Годы

Рис. 4.2. Будущая стоимость I доллара для разных периодов и процентных ставок

Существуют специализированные финансовые калькуляторы, предназначенные дм того, чтобы облегчить вычисления. Рис. 4.3 показывает клавиатуру типичного финансового калькулятора. Нажатием соответствующих клавиш вы вводите в произвольном порядке количество периодов (n), процентную ставку (i) и величину вклада (PV), а затем рассчитываете будущую стоимость (FV). И, как по волшебству, ответ появляется на дисплее калькулятора. Программы электронных таблиц для персональных компьютеров, такие как Lotus и Excel, также имеют встроенные возможности расчета будущей стоимости.

Рис. 4.3. Финансовый калькулятор

2. Мы также можем использовать для расчетов таблицы коэффициенты будущей стоимости, такие как в табл. 4.2. В нашем примере мы могли бы найти в таблице коэффициент, который соответствует значению и 5 и процентной ставке i 10%. Таблица показывает, что соответствующим коэффициентом является 1,6105. Затем мы умножаем наши 1000 долл. на этот коэффициент.

3. И наконец, существует удобный способ, который поможет вам подсчитать будущую стоимость ваших денег, если у вас под рукой нет калькулятора или соответствующей таблицы. Это правило называется правилом 72 (Rule of 72). Оно гласит, что количество лет, необходимое для того, чтобы сумма денег удвоилась ("время удвоения"), примерно равно числу 72, поделенному на процентную ставку, выраженную в процентах в год:

Время удвоeния =

процентная ставка

Таким образом, при годовой ставке процента 10% должно пройти примерно 7,2 года прежде, чем ваши деньги удвоятся. Если вы начнете с 1000 долл., то через 7,2 года у вас будет 2000 долл., через 14,4 года 4000 долл., 8000 долл. через 21,6 и т.д.

4.1.2. Сбережения на старость

Вам 20 лет и вы подумываете о том, чтобы положить на счет 100 долл. сроком на 45 лет при ставке процента 8% годовых. Сколько денег будет на вашем счете когда вам будет 65 лет? Сколько из этой суммы составят простые проценты, а сколько — сложные? И если бы вам удалось найти банк, где годовая ставка процента составляет 9%, насколько больше денег у вас было бы в возрасте 65 лет?

Используя любой из рассмотренных ранее методов мы получаем:

FV = 100 долл.х1,0845 =3192 долл.

Поскольку начальная сумма составляет 100 долл., сумма начисленных процентов будет равна 3092 долл. Простые проценты получаются путем перемножения следующих величин — 45 х 0,08 х 100 долл., или 360 долл., тогда как сумма сложных процентов равна 2732 долл.

При условии, что годовая ставка процента равна 9%, мы получаем:

FV = 100 долл. х 1,0945 = 4833 долл.

Таким образом, кажущееся незначительным увеличение ставки процента на 1% приводит к получению дополнительной суммы, равной 1641 долл. (.4833 долл. ~ 3192 долл.) в возрасте 65 лет. Это более чем 50%-ное увеличение (1641 долл./ 3192 долл. = 0,514). Суть этого примера заключается в том, что незначительная разница в ставках процента может привести к большой разнице в будущей стоимости через большой промежуток времени.

Запомните, что правило 72 может помочь нам найти довольно приблизительный ответ на наши вопросы. При ставке банковского процента 8% ваши 100 долл. будут удваиваться каждые 9 лет. Таким образом, через 45 лет эта сумма удвоилась бы 5 раз, дав нам примерную будущую стоимость в размере 3200 долл.:

100 долл. х 2 х 2 х2 х 2 х 2 = 100 долл.х32 = 3200 долл.,

что не так уж и далеко от точного ответа — 3192 долл.

При ставке процента 9% ваши деньги будут удваиваться каждые 8 лет. За 45 лет они удвоятся примерно 5,5 раза (45/8 = 5,625). Следовательно, значение будущей стоимости будет на 50% больше, чем при ставке 8% годовых: 1,5 х 3200 долл.= долл-4800. И вновь эта сумма не далека от точного ответа — 4833 долл.

4.1.3. Реинвестирование по разным процентным ставкам

Вам необходимо принять следующее инвестиционное решение. У вас есть 10000 долл. и вы хотите положить эту сумму в банк на два года. Вы решили приобрести банковские депозитные сертификаты. Депозитные сертификаты со сроком обращения и погашения через два года имеют процентную ставку 7% годовых, а со сроком обращения и погашения через один год — 6% годовых. Как вам поступить?

Для того чтобы принять это решение, вам нужно сначала подумать о том, какой будет ставка процента по депозитному сертификату в следующем году. Речь идет о стоке реинвестирования (reinvestment rate), т.е. о процентной ставке, по которой деньги, полученные до окончания намеченного срока инвестирования (т.е. до истечения двух лет), могут быть вложены повторно. Предположим, вы уверены, что эта ставка реинвестирования составит 8% в год.

Теперь, используя концепцию будущей стоимости, вы можете принять решение об инвестировании. Вы рассчитываете будущую стоимость дня каждого варианта и выбираете тот, который даст больше денег по истечении двух лет. При наличии двухлетнего депозитного сертификата будущая стоимость первоначального вклада составит;

FV =10000 долл. х 1,07 -11449 долл.

При последовательном вложении в два одногодичных депозитных сертификата будущая стоимость будет равняться:

FV =10000 долл. х 1,06х1,08 =11448 долл.

Таким образом, вложение денег в двухлетний депозитный сертификат несколько выгоднее.

4.1.4. Погашение долга

Через пятьдесят лет после окончания колледжа вы получаете письмо, в котором вас уведомляют о том, что вы не заплатили взносы в сумме 100 долл., о чем стало известно только теперь. Ввиду того что это произошло по недосмотру администрации колледжа, то было решено взыскать с вас эту сумму из расчета ставки процента в размере всего 6% в год. Ваш колледж хотел бы, чтобы вы выплатили эти деньги ко дню пятидесятилетней годовщины встречи выпускников вашего класса. Как благодарный выпускник вы чувствуете, что обязаны заплатить. Сколько вы им задолжали?

Используя один из методов, которые были рассмотрены ранее мы находим:

FV - 100 долл.х1,0650 = 1842 долл.

Контрольный вопрос 4.2

В 1626 году Питер Минит (Peter Minuit) купил остров Манхэттен у индейцев за безделушки, которые стоили примерно 24 долл. Если бы племя взяло эту сумму наличными и вложило их под 6% годовых; то сколько денег, с учетом сложных процентов, было бы у него в 1996 году, т.е. 370 лет спустя?

4.2. ЧАСТОТА НАЧИСЛЕНИЯ СЛОЖНЫХ ПРОЦЕНТОВ

Ставки процента по кредитам и депозитам обычно устанавливаются в виде годовой процентной ставки, или процентной ставки в годовом начислении (annual percentage rate, APR), (например 6% в год) с определенной частотой ее начисления (например, ежемесячно). Ввиду того что частота начислений может быть различной, очень важно знать способ сравнения процентных ставок. Это делается путем вычисления действующей (или эффективной) годовой процентной ставки (effective annual rate, EFF), эквивалентной процентной ставке при условии начисления процентов один раз в году.

Предположим, что ваши деньги приносят доход в виде процентов при заданной годовой процентной ставке (APR) в размере 6% годовых, начисляемых ежемесячно. Это значит, что проценты начисляются на ваш счет каждый месяц в сумме; от установленной ставки APR. Таким образом, реальная ставка процента составляет 0,5% в месяц (или 0,005 в месяц в десятичном выражении).

Мы найдем EFF путем подсчета будущей стоимости в конце года в расчете на доллар, вложенный в начале года. В этом примере мы получим:

FV =-(1,005)n =1,0616778

Действующая годовая процентная ставка составляет.

EFF=1,0616778-1=0,0616778 или 6,16778% в год

Общая формула для вычисления действующей годовой процентной ставки выглядит следующим образом:

EFF= ( 1 +

APR

)m - 1

(4.2)

m

где APR — процентная ставка в годовом исчислении, а т — число периодов начисления в год. Табл. 4.3 показывает действующие годовые процентные ставки, соответствующие процентной ставке в годовом начислении при условии 6% годовых для разной частоты начислений.

Если начисление производится один раз в год, тогда эффективная годовая процентная ставка равна процентной ставке в годовом исчислении. В случае, если частота начислений сложных процентов увеличивается, действующая годовая процентная ставка становится все больше и больше, приближаясь к своему максимальному значению. По мере того как т растет без ограничений, (1 + APR / т)" приближается к е"", где е — число 2,71828 (округленное до пятого знака после запятой). В нашем примере e°°= 1,0618364. Таким образом, если проценты начисляются непрерывно, то EFF = 0,0618365, или 6,18365% в год.

Таблица 4.3. Действующие годовые процентные ставки для APR 6%

Частота начислений

т

Действующая годовая процентная ставка

Ежегодно

6,00000%

Каждые полгода

6,09000%

Ежеквартально

6,13614%

Ежемесячно

6,16778%

Еженедельно

6,17998%

Ежедневно

6,18313%

Непрерывно

Максимальное значение

6,18365%

Контрольный вопрос 4.3

Вы взяли заем при условии, что процентная ставка в годовом исчислении составляет 12% и начисление процентов происходит ежемесячно. Какой будет действующая годовая процентная ставка?

4.3. ПРИВЕДЕННАЯ СТОИМОСТЬ ДЕНЕГ И ДИСКОНТИРОВАНИЕ

Рабочая книга M 4.3-4.6

При расчете будущей стоимости вы задаетесь следующим вопросом:

"Сколько денег у меня будет через 10 лет, если сегодня я вложу их под 8% годовых?" (Ответ: FV = 2159 долл. Проверьте и убедитесь!)

Но предположим, что мы хотим знать, сколько нужно инвестировать сегодня для того, чтобы достичь запланированной суммы к определенной дате в будущем. Например, если нам нужно 15000 долл. для того, чтобы заплатить за обучение ребенка в колледже через восемь лет, то сколько мы должны вложить сейчас? Для того чтобы найти ответ на этот вопрос, нам необходимо рассчитать приведенную стоимость этой будущей суммы.

Процедура расчета приведенной стоимости противоположна вычислению будущей стоимости. Иными словами, с ее помощью мы можем выяснить, какую сумму нам необходимо вложить сегодня для того, чтобы получить определенную сумму в будущем. Давайте проследим за тем, как рассчитывается приведенная стоимость.

Предположим мы хотим иметь 1000 долл. через год и процентная ставка равняется 10% годовых. Сумма, которую мы должны вложить сейчас, представляет собой приведенную стоимость будущих 1000 долл. Поскольку процентная ставка составляет 10%, мы знаем, что на каждый вложенный нами сегодня доллар мы получим в будущем 1,1 долл. Следовательно, мы можем написать:

Приведенная стоимость х 1,1 = 1000 долл.

Отсюда, приведенная стоимость будет равняться:

Приведенная стоимость = 1000 долл. /1,1= 909,09 долл.

Таким образом, если процентная ставка составляет 10% в год, нам необходимо вложить 909,09 долл. для того, чтобы получить 1000 долл. через год.

Теперь предположим, что 1000 долл. нам нужны через два года. Очевидно, что сумма, которую нам необходимо вложить сегодня при ставке 10%, меньше, чем 909,09 долл., так как проценты в размере 10% годовых будут начисляться на нее в течение двух лет. Для определения приведенной стоимости мы используем наши знания того, как найти будущую стоимость:

1000 долл. = PVx1,12 = PVx1,21

В нашем примере приведенная стоимость равняется:

PV = 1000 долл. /1,12 = 826,45 долл.

Таким образом, 826,45 долл., вложенные сейчас под 10% годовых, вырастут до 1000 долл. за два года.

Расчет приведенной стоимости называется дисконтированием, и процентную ставку, которую используют в таких расчетах, часто называют дисконтной ставкой, или ставкой дисконтирования. Необходимо иметь в виду, что под дисконтированием в финансах понимается нечто совсем иное, чем в розничной торговле. В розничной торговле этот термин обозначает снижение цены с целью продажи большего количества товаров. В финансах же этот термин означает расчет приведенной стоимости денег исходя из их определенной суммы в будущем. Для того чтобы различать эти два вида дисконтирования в мире бизнеса, расчет приведенной стоимости называется анализом дисконтированных денежных потоков, или денежных потоков, приведенных к одному моменту времени (discounted cashflow (DCF) analysis).

Общая формула для вычисления приведенной стоимости 1 долл. через и периодов, если i — дисконтная ставка для данного периода, выглядит следующим образом:

PV=

(4.3)

(1+i)n

Это выражение называется коэффициентом приведенной (текущей) стоимости 1 долл. при процентной ставке i за п периодов.

Если мы посчитаем приведенную стоимость 1 долл., который у нас будет через пять лет при ставке дисконтирования 10% годовых, то она составит:

PV = 1/1.15=0,62092 I, I

Для того чтобы найти приведенную стоимость 1000 долл. через пять лет при процентной ставке 10%, мы просто умножаем этот коэффициент на 1000 долл. и получаем 620,92 долл.

Поскольку дисконтирование — это процесс, обратный начислению сложных процентов, то для подсчета текущей стоимости мы можем использовать табл. 4.2, которую мы использовали раньше для того, чтобы найти коэффициенты будущей стоимости. Вместо того чтобы умножать на этот коэффициент, мы поделим на него. Таким образом, мы можем найти приведенную стоимость 1000 долл., получаемых через пять лет при 10% годовых, найдя в табл. 4.2 коэффициент будущей стоимости, который составляет 1,6105, и разделив 1000 долл. на него:

1000 долл./1,6105= 620,92 долл.

Для удобства существуют таблицы коэффициентов приведенной стоимости, подобные табл. 4.4, которая содержит коэффициенты, обратные тем, которые приведены в табл. 4.2. Найдите в табл. 4-4 коэффициент приведенной стоимости для 10% ставки дисконтирования и пяти временных периодов и убедитесь, что он будет 0,6209.

Общая формула для определения приведенной стоимости 1 долл. такова:

PV=

(1+i)n

где i — процентная ставка, выраженная как десятичная дробь, п — количество периодов.

Таблица 4.4. Приведенная стоимость 1 долл. для разных периодов и процентных ставок

Процентная ставка, i

Количество периодов, n

2%

4%

6%

8%

10%

0,9804

0,9615

0,9431

0,9259

0,9091

0,9612

0,9246

0,8830

0,8573

0,8264

0,9423

0,8890

0,8396

0,793В

0,7513

0,9238

0,8548

0,7921

0,7350

0,6830

0,9057

0,8219

0,7473

0,6806

0,6209

Если просмотреть значения в любом из столбцов сверху вниз, то можно заметить, как приведенная стоимость уменьшается тем больше, чем меньше времени остается до того момента, как 1 долл. снимут со счета. При процентной ставке, например, 10% за период приведенная стоимость 1 долл. через год составляет 0,9091 долл., а приведенная стоимость того же доллара, который должен быть получен через 20 лет, — всего 0,1486 долл.

4.3.1. Когда подарок в 100 долларов на самом деле не равен 100 долларам

Ваш брат на свое десятилетие получает сберегательную облигацию на сумму 100 долл., срок погашения которой наступает через пять лет. По этому типу облигаций ничего не выплачивается вплоть до наступления срока погашения. Подсчитывая полученные надень рождения "богатства", он считает, что эта облигация уже принесла ему 100 долл. Сколько она действительно стоит, если ставка дисконта составляет 8% годовых и срок погашения наступит не раньше, чем через пять лет? Как бы вы могли объяснить своему брату его ошибку?

Мы ищем приведенную стоимость 100 долл., которые будут получены через пять лет при ставке дисконта 8% годовых. Существует несколько способов, пользуясь которыми мы можем это подсчитать. Формула следующая:

РV=100 долл./1,085

На обычном калькуляторе мы могли бы найти эту приведенную стоимость, разделив 100 на 1,08 пять раз и получив при этом 68. На финансовом калькуляторе (подобном тому, что изображен на рис, 4.3), мы могли бы ввести значения для n, i и FV, а затем подсчитать приведенную стоимость, нажав кнопку PV. Мы также могли бы воспользоваться коэффициентом приведенной стоимости 1 доллара, взятым из табл. 4.4. Ячейка таблицы, соответствующая процентной ставке 8% и 5 периодам, имеет значение 0,6806. Умножим этот коэффициент на 100 долл. и найдем, что приведенная стоимость равняется 68 долл.

Разъяснить ситуацию вашему брату — задача не из легких. Возможно, для этого лучше использовать концепцию будущей стоимости. Вы могли бы объяснить ему, что сегодня его сберегательная облигация стоит всего 68 долл., потому что все, что ему нужно сделать для того, чтобы через пять лет получить 100 долл. — это положить 68 долл. на сберегательный счет, по которому выплачивается процентная ставка в размере 8% годовых.

Контрольный вопрос 4.4

Какова приведенная стоимость 100 долл., которые будут получены через четыре года при ставке дисконтирования 6% годовых?

4.4. ПРАВИЛА ИНВЕСТИРОВАНИЯ НА ОСНОВЕ ДИСКОНТИРОВАНИЯ ДЕНЕЖНЫХ ПОТОКОВ

Рабочая книга M 4.3-4.6

Концепция анализа дисконтированных денежных потоков, которую мы изучили только что в этой главе, предоставляет все необходимое для принятия решений об инвестировании. Суть концепции выражена в уравнении, которое объединяет будущую стоимость, приведенную стоимость, процентную (или дисконтную) ставку и количество периодов ее начисления:

FV=PV(1+i)n (4.4)

Если нам известны значения трех из имеющихся в этом уравнении переменных, мы можем найти значение четвертой и, основываясь на этом, сформулировать правило принятия инвестиционных решений. Наиболее общее правило принятия решений — правило определения чистой приведенной стоимости (NPV). Это правило не только широко используется и применимо к любой ситуации (т.е. если его использовать правильно, то можно застраховаться от неправильного решения), но и интуитивно понятно. Правило NPV звучит следующим образом. Принимайте участие в проекте, если приведенная стоимость будущих денежных поступлений от его реализации превышает ваши первоначальные инвестиции. Главная сложность заключается в том, чтобы не "сравнивать яблоки с апельсинами". Поэтому при расчете будущих денежных потоков (что мы и будем делать через некоторое время) мы должны использовать их приведенную стоимость для того, чтобы их можно было сравнивать с сегодняшними затратами.

Правило NPV гласит: " Чистая приведенная стоимость является разницей между приведенной стоимостью всех будущих денежных поступлений и приведенной стоимостью всех текущих и будущих расходов. Инвестируйте в проект, если его WFположительна. Откажитесь от инвестирования в проект, если NPV отрицательна.

Например, предположим, что есть возможность купить сберегательную облигацию номиналом 100 долл. за 75 долл. Другим альтернативным вариантом инвестирования является размещение денег на банковском счету с выплачиваемой процентной ставкой 8% годовых. Является ли покупка сберегательной облигации хорошим вложением денег? Давайте посмотрим, как использовать правило принятия решений на основе HPV для оценки этой инвестиции. Начальное вложение в сберегательную облигацию равно 75 долл. (так как это происходит сегодня, то дисконтирование не требуется). Какова приведенная стоимость денежных поступлений от облигации? Ответ прост — это приведенная (дисконтированная) стоимость 100 долл., которые будут получены через пять лет. Ставка дисконтирования, применяемая нами в этом случае, — это ставка доходности, которую можно было бы получить, если бы деньги не были вложены в облигацию.

Для расчетов NPV любой инвестиции в качестве процентной ставки или говоря более широко — ставки доходности, мы используем альтернативную стоимость капитала (opportunity cost of capital), также называемую рыночной ставкой помещения или капитализации (market capitalization rate). Альтернативная стоимость капитала — это та ставка доходности, которую мы могли бы получить от других направлений инвестирования, если бы не израсходовали эту сумму в проекте, подлежащем сейчас оценке. В этом примере альтернативная стоимость капитала, помещенного в сберегательную облигацию, равна ставке, которую мы получили бы, если бы вместо этого поместили наши деньги в банк под 8% годовых. Однако не всегда понятно, откуда следует брать альтернативную стоимость капитала, поэтому на этот вопрос мы ответим в приложении к этой главе.

Для того чтобы легко проследить все расчеты, которые мы будем делать (особенно, если мы воспользуемся финансовым калькулятором), мы поместим наши данные в следующую таблицу.

N

i

PV

FV

Результат

?

PV= 68,06

Знак вопроса обозначает переменную, значение которой необходимо узнать. В этом случае мы используем три переменных, FV, п, и i для того, чтобы рассчитать четвертую, PV. Затем мы сравним рассчитанную нами приведенную стоимость с известными начальными затратами на покупку сберегательной облигации. С помощью соответствующей формулы мы найдем:

PV=

100 долл.

=68,06

1.085

Сравнив 68,06 долл. с 75 долл., необходимыми для покупки облигации, мы можем заключить, что покупать ее не стоит. Другими словами, NPV инвестиции, 68,06 долл.-75 долл. =-6,94 долл., т.е. она отрицательна.

Проявляется критерием того, насколько сильно изменяется ваше текущее финансовое состояние в результате сделанного выбора. Понятно, что если NPV отрицательна, деньги вкладывать не стоит. В данном случае, если вы примете решение о покупке данной облигации, то ваше текущее богатство ухудшится приблизительно на 7 долл.

Для того чтобы прийти к тому же самому заключению, можно использовать другой способ, известный под названием правила будущей стоимости. Оно гласит; Вкладывайте деньги в проект, если его будущая стоимость больше будущей стоимости, которую вы получите в ходе реализации другого варианта инвестирования средств. Это правило не так очевидно, как рассмотренное ранее, хотя и приводит к тому же решению, что и правило ЛУК Причина, по которой это правило не часто используется на практике, заключается в том, что при многих обстоятельствах (как будет показано далее в книге) будущую стоимость инвестиций нельзя рассчитать, в то время как правило NPV применить можно. Давайте теперь посмотрим, как правило будущей стоимости использовалось бы в том же самом примере, с помощью которого мы проиллюстрировали правило NPV.

Покупка облигации (первоначальная инвестиция 75 долл., будущая стоимость денежных поступлений через пять лет — 100 долл.) ведет к получению в будущем денег в количестве 100 долл. Следующим лучшим вариантом вложения денег может считаться их помещение на банковский счет под 8% годовых. Действительно ли облигация имеет более высокую будущую стоимость, чем мы могли бы получить в банке? И снова, пользуясь имеющимися у нас данными, заполним таблицу:

n

i

PV

FV

Результат

?

FV=110,20

Воспользовавшись формулой, мы получим, что будущая стоимость денег на банковском счете составит:

FV = 75 долл. х 1,085 = 110,20 долл.

Совершенно очевидно, что эта сумма значительно выше, чем 100 будущих долларов, получаемых при погашении сберегательной облигации. И вновь мы приходим к выводу, что сберегательная облигация является худшим вариантом инвестирования.

Существуют другие правила принятия решений, которые также используются на практике, У каждого из них имеются свои собственные основания для применения и каждое служит для решения конкретных проблем. Стоит отметить, однако, что ни одно из правил не имеет такого универсального применения, как правило NPV.

Вот еще одно широко используемое правило, которое во многих случаях может быть эквивалентом правила NPV: "Принимайте положительное решение об инвестировании, если доходность проекта выше, чем альтернативная стоимость капитала".

Это правило опирается на сравнение имеющихся ставок доходности. Вспомните, что в нашем примере альтернативная стоимость капитала от помещения денег в банк составила 8% годовых. Если вы вложите 75 долл. в сберегательную облигацию сегодня, то через пять лет сможете получить 100 долл. Какова будет процентная ставка по ваше» вкладу? Другими словами, мы хотим найти i для того, чтобы решить уравнение:

75 долл. = 100 долл./(1 + i)5

Показатель, которой мы нашли, называется ставкой доходности при погашении облигации (yield to maturity), или внутренней ставкой доходности (internal rate of return, IRR/ Внутренняя ставка доходности — это такое значение дисконтной ставки, которое уравнивает приведенную стоимость будущих поступлений и приведенную стоимость затрат. Другими словами, IRR равна процентной ставке, при которой NPV равна нулю. Таким образом, если ставка, при которой NPV равен нулю (т.е. IRR) выше, чем альтернативная стоимость капитала, тогда нам понятно, что NPV при альтернативной стоимости капитала должна быть положительной. Другими словами, если IRR составляет, скажем, 10% (т.е. NPV npи 10% равняется нулю), тогда ЛУК при альтернативной стоимости капитала 8% должна быть положительной. Почему? Мы знаем, что расчет NPV учитывает будущие поступления. Мы также знаем, что приведенная стоимость будущих денежных потоков больше, когда дисконтная ставка невелика. Таким образом, если NPV равняется нулю при 10%, то она будет положительной при 8%. Отсюда наличие 10% IRR и 8% альтернативной стоимости капитала позволяют нам говорить о том, что NPV должна быть положительной1.

Для того чтобы рассчитать i на финансовом калькуляторе, введите PV, FV, и и подсчитайте i.

N

I

PV

FV

Результат

?

-75

i=5,92%

Мы поставили знак "минус" перед 75 долл. в столбце таблицы, обозначенном PV, так как таким образом обозначают инвестицию (а именно исходящий от вас денежный поток). В большинстве финансовых калькуляторов сум