Математическое обеспечение САПР

Математическое обеспечение (МО) САПР включает в себя математические модели (ММ) объектов проектирования, методы и алгоритмы, необходимые для выполнения проектных процедур автоматизированного проектирования. МО САПР делится на общее и специальное. К математическим моделям предъявляют требования универсальности, точности, адекватности и экономичности.

Степень универсальности характеризует применимость ММ к анализу более или менее многочисленной группы однотипных объектов. Например, ММ резистора в виде уравнения закона Ома характеризует свойство резистора пропускать электрический ток, вне зависимости от того, какие габаритные размеры имеет резистор как деталь, какую механическую прочность и т. п.

Точность ММ оценивается степенью совпадения значений параметров реального объекта и значений тех же параметров, рассчитанных с помощью оцениваемой ММ. Пусть отражаемые в ММ свойства оцениваются вектором выходных параметров Y =(y₁, y₂,…, y_m ). Тогда, обозначив истинное и рассчитанное с помощью ММ значение j-го выходного параметра через y_{j ист} и y_jм соответственно, определим относительную погрешность ε_j расчёта параметра y_j как ε_j =(y_jм - y_{j ист} )/y_{j ист}. В результате получим векторную оценку относительной погрешности ε = (ε₁, ε₂, …,ε_m). При необходимости сведения этой оценки к скалярной используют какую-либо норму вектора ε, например: ε_м =|| ε||=max|ε_j|, jÎ[1: m].

Адекватность ММ – способность отображать заданные свойства с погрешностью не выше заданной. Поскольку выходные параметры являются функциями векторов параметров внешних Q и внутренних X, погрешность ε_j зависит от значений Q и X. Обычно значения внутренних параметров ММ определяют из условия минимизации погрешности ε_м в некоторой точке Q_ном пространства внешних параметров, а используют модель с рассчитанным вектором X при различных значениях Q. При этом, как правило, адекватность модели имеет место лишь в ограниченной области изменения внешних переменных – области адекватности (ОА) математической модели: ОА = {Q | ε_м<= δ}, где δ > 0 – заданная константа, равная предельно допустимой погрешности модели.

Экономичность ММ характеризуется затратами вычислительных ресурсов (затратами машинного времени и памяти) на её реализацию. Чем меньше эти затраты, тем модель экономичнее. В общем случае процедура получения математических моделей включает в себя следующие операции:

1. Выбор свойств объекта, которые подлежат отражению в модели. Этот выбор основан на анализе возможных применений модели и определяет степень универсальности ММ.

2. Сбор исходной информации о выбранных свойствах объекта. Источником сведений могут быть: опыт и знания разработчика модели, научно-техническая литература, описания прототипов – имеющихся ММ для элементов, результаты экспериментального измерения параметров и т. п.

3. Синтез структуры ММ. Структура ММ – это общий вид математических соотношений модели без конкретизации числовых значений фигурирующих в них параметров. Синтез структуры – наиболее ответственная и с наибольшим трудом поддающаяся формализации операция.

4. Расчёт числовых значений параметров ММ. Эта задача ставится как задача минимизации погрешности модели заданной структуры, т.е. min ε_м (X), Х Î ХД, где Х – вектор параметровмодели; ХД – область варьирования параметров.

5. Оценка точности и адекватности ММ.

Математические модели классифицируются по следующим признакам:

1. По характеру отображаемых свойств объекта – структурные, функциональные. Структурные ММ предназначены для отображения структурных свойств объекта. Функциональные ММ – для отображения физических и информационных процессов.

2. По принадлежности к иерархическому уровню – ММ микроуровня, макроуровня, метауровня.

3. По степени детализации описания внутри одного уровня – полные и макромодели. Полные ММ отражают связи всех элементов объекта в отличие от макромоделей.

4. По способу представления свойств объекта – аналитические, алгоритмические, имитационные. Аналитические ММ представляют собой явные выражения выходных параметров как функций входных и внутренних параметров. Алгоритмические ММ выражают связи выходных параметров с параметрами внутренними и внешними в форме алгоритма. Имитационные ММ – алгоритмические или программные модели, отражающие поведение исследуемого объекта во времени при задании внешних воздействий на объект.

5. По способу получения модели – теоретические, эмпирические.