Требования к определению понятий.

Но, формулируя определения, придерживаются ряда правил. Назовем основные.

1. Определение должно быть соразмерным.Это означает, что объемы определяемого и определяющего понятий должны совпадать. Это правило вытекает из того, что определяемое и определяющее понятия взаимозаменяемы.

Например, несоразмерно такое определение квадрата: «Квадратом называется четырехугольник, у которого все стороны равны». Действительно, объем определяемого по­нятия - множество квадратов. Объем определяющего поня­тия- множество четырехугольников, все стороны которых равны, а это множество ромбов. Но не всякий ромб есть квадрат, т.е. объемы определяемого и определяющего поня­тия не совпадают, и, следовательно, данное определение несоразмерно.

2. В определении (или их системе) не должно быть порочно­го круга.Это означает, что нельзя определять понятие через само себя (в определяющем не должно содержаться опреде­ляемого термина) или определять его через другое, которое, в свою очередь, определять через него.

Например, содержат порочный круг определения: «Рав­ные треугольники - это треугольники, которые равны», «Ка­сательная к окружности - это прямая, которая касается ок­ружности».

Так как в математике рассматривают не просто отдельные понятия, а их систему, то данное правило запрещает порочный круг и в системе определений. В соответствии с ним нельзя оп­ределять понятие а, выбрав в качестве родового понятия с, а понятие с - через понятие а.

Например, если определить окружность как границу кру­га, а круг как часть плоскости, ограниченную окружностью, то мы будем иметь порочный круг в определениях данных понятий.

3. Определение должно быть ясным.Это на первый взгляд очевидное правило, но означает оно многое. Прежде всего, требуется, чтобы значения терминов, входящих в определяющее понятие, были известны к моменту введения определения нового понятия.

Например, нельзя определять прямоугольник как паралле­лограмм с прямым углом, если понятие «параллелограмм» еще не рассмотрено.

К условиям ясности определения относят также требова­ния включать в видовое отличие лишь столько свойств, сколько необходимо и достаточно для выделения определяе­мых объектов из объема родового понятия.

Рассмотрим, например, такое определение прямоугольни­ка: «Прямоугольником называется четырехугольник, у кото­рого все углы прямые и противоположные стороны равны».

Нетрудно убедиться в том, что это определение соразмер­ное и в нем нет порочного круга. Но можно доказать, что свойство «в прямоугольнике противоположные стороны рав­ны» вытекает из свойства «в прямоугольнике все углы пря­мые». В этом случае считают, что в данном определении пря­моугольника второе свойство избыточное.

Таким образом, чтобы определение было ясным, жела­тельно, чтобы оно не содержало избыточных свойств в опре­деляющей части, т.е. таких свойств, которые могут быть вы­ведены из других, включенных в это определение. Однако иногда для простоты изложения это правило нарушают.

Для обеспечения ясности определения важно также нали­чие понятия, родового по отношению к определяемому. Про­пуск родового понятия делает определение несоразмерным. Неприемлемо, например, такое определение квадрата: «Квад­рат - это когда все стороны равны».

К сказанному следует добавить, что, формулируя опреде­ление, надо стремиться в определяющем указывать не просто родовое по отношению к определяемому понятие, а ближай­шее. Это часто позволяет сократить количество свойств, включаемых в видовое отличие.

Например, если для определения квадрата в качестве родо­вого выбрать понятие «четырехугольник», то тогда надо бу­дет включать в видовое отличие два свойства: «иметь все прямые углы» и «иметь все равные стороны». В результате получим определение: «Квадратом называется четырехуголь­ник, у которого все углы прямые и все стороны равны».

Если же в качестве родового выбрать ближайшее для квадрата родовое понятие - прямоугольник, то получим более короткое определение квадрата: «Квадратом называется пря­моугольник, у которого все стороны равны».

4. Одно и то же понятие определить через род и видовое отличие, соблюдая сформулированные выше правила, можно по-разному.Так, квадрат можно определить как:

а) прямоугольник, у которого соседние стороны равны;

б) прямоугольник, у которого диагонали взаимно пер­пендикулярны;

в) ромб, у которого есть прямой угол;

г) параллелограмм, у которого все стороны равны, а уг­лы прямые.

Различные определения одного и того же понятия возмож­ны потому, что из большого числа свойств, входящих в со­держание понятия, в определение включаются только некото­рые. И когда из возможных определений выбирают одно, исходят из того, какое из них проще и целесообразнее для дальнейшего построения теории.

Если же одному и тому же понятию даются, например, два разных определения, то необходимо доказывать их равно­сильность, т.е. убеждаться в том, что из свойств, включенных в одно определение, вытекают свойства, включенные в другое, и наоборот.

Завершая рассмотрение определений понятий через род и видовое отличие, назовем ту последовательность действий, ко­торую мы должны соблюдать, если хотим воспроизвести опре­деление знакомого понятия или построить определение нового:

1. Назвать определяемое понятие (термин).

2. Указать ближайшее родовое (по отношению к опреде­ляемому) понятие.

3. Перечислить свойства, выделяющие определяемые объек­ты из объема родового, т.е. сформулировать видовое отличие.

4. Проверить, выполнены ли правила определения понятия (соразмерно ли оно, нет ли порочного круга и т.д.).

При изучении математики в начальных классах определения через и видовое отличие используют редко. Связано это как с особенностями курса, так и с возможностями детей. Но поня­тий в начальном курсе математики очень много - об этом мы говорили в самом начале параграфа. Как же их определяют?