Определение понятий

Появление в математике новых понятий, а значит, и новых терминов, обозначающих эти понятия, предполагает их определение.

Определением обычно называют предложение, разъясняющее суть нового термина (или обозначения) Как правило, делают

это на основе ранее введенных понятий. Например, прямоугольник можно определить так: «Прямоугольником называется четырехугольник, у которого все углы прямые». В этом определении есть две части- определяемое понятие (прямоугольник) и определяющее понятие (четырехугольник, у которого все углы прямые). Если обозначить через а первое понятие, а через b - второе, то данное определение можно представить в таком виде:

а есть (по определению) b.

Слова «есть (по определению)» обычно заменяют символом , и тогда определение выглядит так: а b

Читают: «а равносильно b по определению». Можно прочитать эту запись еще и так: «а тогда и только тогда, когда b».

Определения, имеющие такую структуру, называются явными. Сформулировать их можно по-разному. В математике используют определения через род и видовое отличие, генетические, индуктивные и другие.

Примером определения через род и видовое отличие является определение прямоугольника, данное выше. В генетических определениях указывается способ образования определяемого объекта. Например, шар - это геометрическая фигура, получаемая в результате вращения полукруга вокруг диаметра. В индуктивных определениях указываются некоторые основные объекты теории и правила, позволяющие получать новые из уже имеющихся. Примером такого определения может служить определение арифметической прогрессии: «Арифметической прогрессией называется числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом».

Но чаще всего в математике используются определения через род и видовое отличие. Рассмотрим подробнее структуру этих определений.

Обратимся опять к определению прямоугольника, вернее, к его второй части - определяющему понятию. В нем можно выделить:

1) понятие «четырехугольник», которое является родовым по отношению к понятию «прямоугольник»,

2) свойство «иметь все углы прямые», которое позволяет выделить из всевозможных четырехугольников один вид - прямоугольники; поэтому его называют видовым отличием.

Вообще видовое отличие- это свойства (одно или не­сколько), которые позволяют выделять определяемые объек­ты из объема родового понятия.

Итоги нашего анализа можно представить в виде схемы

Заметим, что в наглядном представлении структуры опре­деления через род и видовое отличие мы допустили некоторые неточности. Во-первых, слова «родовое понятие» означают, что речь идет о родовом понятии по отношению к определяе­мому. Во-вторых, не совсем ясно, что означает знак «+», ко­торый, как известно, используется для обозначения сложения чисел. Смысл этого знака станет понятным немного позже, когда мы рассмотрим математический смысл союза «и». А пока познакомимся с еще одной возможностью наглядного представления определения через род и видовое отличие. Если определяемое понятие обозначить буквой а, определяющее буквой b, родовое понятие (по отношение к определяемому) -буквой с, а видовое отличие - буквой Р, то определение через род и видовое отличие можно представить так:

а

Почему видовое отличие обозначено заглавной буквой, мы узнаем несколько позже.

Нам известно, что любое понятие имеет объем. Если поня­тие а определено через род и видовое отличие (2), то о его объеме - множестве А - можно сказать, что в нем содержатся такие объекты, которые принадлежат множеству С (объему родового понятия с) и обладают свойством Р:

А= {х | х С и Р(х)}.

Например, если дано определение: «Острым углом называ­ется угол, который меньше прямого»,- то объем понятия «острый угол» - это подмножество множества всех углов плос­кости, которые обладают свойством «быть меньше прямого».

Так как определение понятия через род и видовое отли­чие является по существу условным соглашением о введении нового термина для замены какой-либо совокупности из­вестных терминов, то об определении нельзя сказать, верное оно или неверное; его не доказывают и не опровергают.