Основные логические понятия, типовые логические функции и элементы (И, ИЛИ, НЕ, И-НЕ, ИЛИ-НЕ, исключающее ИЛИ.
Элементы булевой алгебры
· Булевы константы («0» и «1»)
· Булевы переменные (Х1,Х2,…,Хn)Є{0,1}
· Булевы функции y=f(x1,x2,…,xn) принимают значения 0 и1
В отличие от переменной в обычной алгебре логическая переменная имеет толькодва значения, которые обычно называются логическим нулем и логической единицей. В качестве бозначений используются «О» и «1» или просто 0 и 1.
Существуют три основные операции между логическими переменными: конъюнкция (логическое умножение), дизъюнкция (логическое сложение) и инверсия (логическое отрицание). По аналогии с алгеброй чисел в алгебре логики используются следующие обозначения операций.
Конъюнкция
Дизъюнкция
Инверсия
Применительно к логическим операциям существуют теоремы:
Коммутативный закон:
Ассоциативный закон:
Дистрибутивный закон:
Правило склеивания:
Правило повторения:
Правило отрицания:
Правило двойного отрицания:
Теорема де Мограна:
Операции с нулем и единицей:
Таблицы истинности логических функций
x1 x2 | f1 | f2 | f3 | f4 | f5 | f6 | f7 | |
Λ | V | ~ | → | ↓ | | | ⊕ |
Дизъюнкция (логическое сложение, ИЛИ)
Конъюнкция (логическое умножение, И)
Равнозначность
Импликация
Функция Вебба (стрелка Пирса, ИЛИ-НЕ)
Функция Шеффера (И-НЕ)
Функция сложения по модулю два (полусумматор)
Как можно представить логические функции с помощью электрических переключающих схем? Так как логические переменные могут иметь только два дискретных значения, то следует обратить внимание на схемы, которые могут находиться в двух легко различимых рабочих состояниях. Простейшим способом реализации логической переменной является ключ.
Можно условиться, что разомкнутый ключ эквивалентен логическому нулю, а замкнутый –логической единице. Таким образом, ключ реализует переменную х, если он замкнут при х = 1, и переменную , если он разомкнут при х = 1.
Рассмотрим сначала, какая логическая функция будет реализована, если два ключа и соединить последовательно.
Значение зависимой переменной у характеризуется тем, будет ли замкнута или разомкнута составная коммутируемая цепь, расположенная между входными клеммами. Очевидно, что рассматриваемая цепь будет замкнута только тогда, когда и замкнуты, т.е. равны единице. Таким образом, последовательное включение ключей реализует функцию И.
Функция ИЛИ может быть получена, если ключи включить параллельно.
С помощью такой схемной логики можно наглядно показать справедливость ранее приведенных теорем. Рассмотрим это на примере правила повторения.
На рис. показана реализация обеих частей выражения правила повторения с помощью коммутируемой цепи. Легко заметить, что рассматриваемое тождество выполняется, поскольку два включенных последовательно ключа, замыкание и размыкание которых происходит одновременно, воздействуют на внешние цепи как один такой ключ.
Другой возможностью представления логических переменных является электрическое напряжение, имеющее два различных уровня: высокий и низкий. Этим уровням можно поставить в соответствие логические состояния 1 и 0. Эта система обозначений: высокий = 1 и низкий = 0 – называется позитивной логикой. Но возможна также и обратная система обозначений: высокий = 0 и низкий = 1, которая называется негативной логикой.
Основные логические функции могут быть реализованы с помощью соответствующих электронных схем. Эти схемы имеют один или несколько входов и один выход. Как правило, они называются логическими элементами. Уровень выходного напряжения определяется уровнями напряжения на входах и характером логической функции. Для реализации одной и той же логической функции существует большое число различных электронных схем. Поэтому с целью упрощения документации были введены символы, которые обозначают лишь только логическую функцию и не раскрывают внутреннее строение схемы.
В цифровой технике задача, как правило, формулируется в форме таблицы переключений, которая называется также таблицей истинности. Прежде всего требуется найти такую логическую функцию, которая соответствовала бы этой таблице. На следующем этапе эту функцию преобразуют в простейшую форму, которую потом реализуют с помощью соответствующей комбинации базовых логических схем. Логические функции записывают, как правило, в дизъюнктивной совершенной нормальной форме (ДСНФ). При этом поступают следующим образом.
1. В таблице истинности выделяют строки, в которых выходная переменная у имеет значение 1.
2. Для каждой такой строки составляют конъюнкцию всех входных переменно причем записывают сомножитель , если рассматриваемая переменная принимает значение 1, в противном случае записывают . Таким образом, составляется столько произведений, сколько имеется строк с у = 1.
3. Наконец, записывая логическую сумму всех найденных произведений, получают искомую функцию.
Дата добавления: 2017-01-26; просмотров: 2850;