Общие принципы и этапы построения
2.1. Определение и назначение моделирования.
Классификация математических моделей
Модельимоделирование - универсальные понятия, атрибуты одного из наиболее мощных методов познания в любой профессиональной области, познания системы, процесса, явления.
Целью моделирования являются получение, обработка, представление и использование информации об объектах, которые взаимодействуют между собой и внешней средой; а модель здесь выступает как средство познания свойств и закономерности поведения объекта.
По уровню, «глубине» моделированиямодели бывают:
– эмпирические - на основе эмпирических фактов, зависимостей;
– теоретические - на основе математических описаний;
– смешанные, полуэмпирические - на основе эмпирических зависимостей и математических описаний.
Проблема моделирования состоит из трех задач [6]:
– построение модели(эта задача менее формализуема и конструктивна, в том смысле, что нет алгоритма для построения моделей);
– исследование модели(эта задача более формализуема, имеются методы исследования различных классов моделей);
– использование модели (конструктивная и конкретизируемая задача).
Построение модели – системная задача, требующая анализа и синтеза исходных данных, гипотез, теорий, знаний специалистов. Системный подход позволяет не только построить модель реальной системы, но и использовать эту модельдля оценки (например, эффективности управления, функционирования) системы.
Слово «модель» происходит от латинского modus (копия, образ, очертание). Моделирование – это замещение некоторого объекта А другим объектом Б. Замещаемый объект А называется оригиналом или объектом моделирования, а замещающий Б – моделью. Другими словами, модель – это объект-заменитель объекта-оригинала, обеспечивающий изучение некоторых свойств оригинала.
Под математической модельюбудем понимать любой оператор L, позволяющий по соответствующим значениям входных параметров X установить выходные значения параметров Y объекта моделирования:
L: Х→ Y, XÎ ΩX, YÎ ΩY, (2.1)
где ΩX и ΩY – множества допустимых значений входных и выходных параметров для моделируемого объекта. В зависимости от природы моделируемого объекта элементами множеств ΩX и ΩY могут являться любые математические объекты (числа, векторы, тензоры, функции, множества и т.п.).
Схема отображения системы S в модель М с множеством входов ΩX и выходов ΩY изображена на рис. 2.1.
Рис. 2.1. Схема отображения системы S в модель М
Понятие оператора в приведенном определении может трактоваться достаточно широко. Это может быть как некоторая функция, связывающая входные и выходные значения, так и отображение, представляющее символическую запись системы алгебраических, дифференциальных, интегродифференциальных или интегральных уравнений. Наконец, это может быть некоторый алгоритм, совокупность правил или таблиц, обеспечивающих нахождение (или установление) выходных параметров по заданным исходным значениям.
Определение математической модели через понятие оператора является более конструктивным с точки зрения построения классификации таких моделей, поскольку включает в себя все многообразие имеющихся в настоящее время математических моделей.
Бурное развитие методов математического моделирования и многообразие областей их использования привело к появлению огромного количества моделей самого разного типа. В связи с этим возникает необходимость в определенном упорядочивании, классификации существующих и появляющихся математических моделей. Учитывая большое число возможных классификационных признаков и субъективность их выбора, появление все новых классов моделей, следует отметить условность и незавершенность рассматриваемой ниже классификации [7].
Представляется возможным подразделить математические модели на различные классы в зависимости от:
– сложности объекта моделирования;
– оператора модели (подмодели);
– входных и выходных параметров;
– способа исследования модели;
– цели моделирования.
Рассмотрим классификацию математических моделей в зависимости от сложности объекта моделирования [7].
Вкачестве объекта моделирования может выступать как некоторое материальное тело или конструкция, так и природный, технологический или социальный процесс либо явление. Все объекты моделирования можно разделить на две группы: простые и объекты-системы (рис. 2.2).
Рис. 2.2. Классификация объектов моделирования
В первом случае при моделировании не рассматривается внутреннее строение объекта, не выделяются составляющие его элементы или подпроцессы. В качестве примера подобного объекта можно привести материальную точку в классической механике.
Модели объектов-систем, учитывающие свойства и поведение отдельных элементов, а также взаимосвязи между ними, называются структурными.Среди структурных динамических систем выделяют в отдельный подкласс имитационныесистемы, состоящие из конечного числа элементов, каждый из которых имеет конечное число состояний. Число связей между элементами также предполагается конечным. Моделирование взаимодействий элементов внутри системы осуществляется с помощью некоторого алгоритма, реализуемого обычно с использованием ЭВМ.
Рассмотрим классификацию математических моделей в зависимости от оператора модели [7].
Выше отмечалось, что любая математическая модель может рассматриваться как некоторый оператор L, который является алгоритмом или определяется совокупностью уравнений - алгебраических, обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), систем ОДУ (СОДУ), дифференциальных уравнений в частных производных (ДУЧП), интегродифференциальных уравнений (ИДУ) и др. (рис. 2.3).
Рис. 2.3. Классификация в зависимости от вида оператора модели
В зависимости от вида оператора математические модели можно разделить на простыеи сложные.
В случае, когда оператор модели является алгебраическим выражением, отражающим функциональную зависимость выходных параметров Y от входных X, модель будем называть простой.
Простые модели чаще всего являются результатом обобщения и анализа экспериментальных данных, полученных в результате наблюдений за исследуемым объектом или явлением. Модель, включающая системы дифференциальных и интегральных соотношений, уже не может быть отнесена к простым, так как для своего исследования требует применения довольно сложных математических методов. Однако в двух случаях она может быть сведена к простым:
1) если полученная для подобной модели система математических соотношений может быть разрешена аналитически;
2) если результаты вычислительных экспериментов со сложной
моделью аппроксимированы некоторой алгебраической зависимостью. В настоящее время известно достаточно большое число подходов и методов аппроксимации (например, метод наименьших квадратов или метод планирования экспериментов).
Далее рассмотрим классификацию математических моделей в зависимости от параметров модели (рис. 2.4).
Вобщем случае параметры, описывающие состояние и поведение объекта моделирования, разбиваются на ряд непересекающихся подмножеств:
- совокупность входных (управляемых) воздействий на объект ΩX ;
Рис.2.4. Классификация математических моделей в зависимости от параметров
- совокупность воздействий внешней среды (неуправляемых) ΩE;
- совокупность внутренних (собственных) параметров объекта ΩZ;
- совокупность выходных характеристик ΩY.
При построении модели возможны следующие варианты описания неопределенности параметров [7]:
1) детерминированное - значения всех параметров модели определяются детерминированными величинами (т.е. каждому параметру соответствует конкретное целое, вещественное или комплексное число либо соответствующая функция). Данный способ соответствует полной определенности параметров;
2) стохастическое- значения всех или отдельных параметров модели определяются случайными величинами, заданными плотностями вероятности. В литературе наиболее полно исследованы случаи нормального (гауссова) и показательного распределения случайных величин;
3) случайное- значения всех или отдельных параметров модели устанавливаются случайными величинами, заданными оценками плотностей вероятности, полученными в результате обработки ограниченной экспериментальной выборки данных параметров. Эта форма описания тесно связана с предыдущей. Однако в рассматриваемом случае получаемые результаты моделирования будут существенным образом зависеть от точности оценок моментов и плотностей вероятности случайных параметров, от постулируемых законов распределения и объема выборок;
4) интервальное- значения всех или отдельных параметров модели описываются интервальными величинами, заданными интервалом, образованным минимальным и максимально возможными значениями параметра;
5) нечеткое- значения всех или отдельных параметров модели
описываются функциями принадлежности соответствующему нечеткому множеству. Такая форма используется, когда информация о параметрах модели задается экспертом на естественном языке, а следовательно, в «нечетких» (с позиции математики) терминах типа «много больше пяти», «около нуля».
Разделение моделей на одномерные, двухмерныеи трехмерныеприменимо для таких моделей, в число параметров которых входят координаты пространства, и связано с особенностями реализации этих моделей, равно как и с резким увеличением их сложности при возрастании размерности (с «проклятием размерности» по образному выражению Р. Беллмана). Как правило, увеличение размерности модели приводит к росту числа используемых математических соотношений. Особенно сложны в реализации трехмерные модели, требующие высокопроизводительной вычислительной техники с большим объемом оперативной и дисковой памяти. При разработке модели стараются (если это возможно) понизить размерность. Необоснованное понижение размерности модели может существенно исказить результаты моделирования.
Из всей совокупности параметров при разработке различных моделей отдельно следует рассмотреть учет времени. Как и координаты, время относится к независимым переменным, от которых могут зависеть остальные параметры модели. В различных ситуациях объект исследования может по разному испытывать влияние времени. Обычно чем меньше масштаб объекта, тем существеннее зависимость его параметров от времени.
Классификация математических моделей в зависимости от целей моделирования представлена на рис. 2.5.
Рис. 2.5. Классификация в зависимости от целей моделирования
Целью дескриптивных моделей(от лат. descriptio - описание) является установление законов изменения параметров модели. В качестве примера такой модели можно привести модель движения материальной точки под действием приложенных сил, использующая второй закон Ньютона. Задавая положение и скорость точки в начальный момент времени (входные параметры), массу (собственный параметр) и закон изменения прикладываемых сил (внешние воздействия), можно определить скорость и координаты материальной точки в любой момент времени (выходные параметры). Полученная модель описывает зависимость выходных параметров от входных. Поэтому дескриптивные модели являются реализацией описательных и объяснительных содержательных моделей на формальном уровне моделирования.
Оптимизационные моделипредназначены для определения оптимальных (наилучших) с точки зрения некоторого критерия параметров моделируемого объекта или же для поиска оптимального (наилучшего) режима управления некоторым процессом. Часть параметров модели относят к параметрам управления, изменяя которые можно получать различные варианты наборов значений выходных параметров. Как правило, данные модели строятся с использованием одной или нескольких дескриптивных моделей и включают некоторый критерий, позволяющий сравнивать различные варианты наборов значений выходных параметров между собой с целью выбора наилучшего. На область значений входных параметров могут быть наложены ограничения в виде равенств и неравенств, связанные с особенностями рассматриваемого объекта или процесса. Целью оптимизационных моделей является поиск таких допустимых параметров управления, при которых критерий выбора достигает своего «наилучшего значения».
Управленческие моделиприменяются для принятия эффективных управленческих решений в различных областях целенаправленной деятельности человека. В отличие от оптимизационных моделей, где критерий выбора считается определенным и искомое решение устанавливается из условий его экстремальности, в управленческих моделях необходимо введение специфических критериев оптимальности, которые позволяют сравнивать альтернативы при различных неопределенностях задачи.
Классификация математических моделей в зависимости от методов реализации приведена на рис. 2.6.
Метод реализации модели относят к аналитическим, если он позволяет получить выходные параметры в виде аналитических выражений, т.е. выражений, в которых используется не более чем счетная совокупность арифметических операций и переходов к пределу. Очень часто аналитическое решение для модели представляют в элементарных или специальных функциях: показательных, логарифмических, тригонометрических, гиперболических и т.п. Для получения значений этих функций при конкретных значениях входных параметров используют их разложение в ряды (например, Тейлора). Аналитические методы реализации модели являются более ценными в том плане, что позволяют с меньшими
Рис. 2.6. Классификация в зависимости от методов реализации
вычислительными затратами изучить свойства объекта моделирования, применяя традиционные хорошо развитые математические методы анализа аналитических функций. Существенно, что применение аналитических методов возможно без использования ЭВМ (за исключением случаев, когда аналитическое решение определяется в рядах и для его доведения до числа требуются трудоемкие вычисления с применением ЭВМ). Кроме того, знание аналитического выражения для искомых параметров позволяет исследовать фундаментальные свойства объекта, его качественное поведение, строить новые гипотезы о его внутренней структуре. Следует отметить, что возможности аналитических методов существенно зависят от уровня развития соответствующих разделов математики.
В настоящее время мощный всплеск интереса к аналитическим методам при реализации моделей связан с появлением пакетов математических вычислений (MATHCAD®, MATLAB®, MATHEMATICA® и др.). Спектр решаемых данными пакетами задач очень велик и постоянно расширяется (элементарная математика, символьные операции с полиномами, производными и интегралами, с векторами и матрицами, задачи теории поля и векторного анализа, метод конечных элементов и т.п.). Применение подобных программных средств не только упрощает процедуру получения аналитического решения, но и облегчает последующий анализ полученного решения с применением различного рода визуализаторов. Возможности математического пакета MATHCAD® и примеры его применения будут рассмотрены далее и на практических занятиях.
При численном подходесовокупность математических соотношений модели заменяется конечномерным аналогом. Это чаще всего достигается дискретизацией исходных соотношений, т.е. переходом от функций непрерывного аргумента к функциям дискретного аргумента. После дискретизации исходной задачи выполняется построение вычислительного алгоритма, т.е. последовательности арифметических и логических действий, выполняемых на ЭВМ и позволяющих за конечное число шагов получить решение дискретной задачи. Найденное решение дискретной задачи принимается за приближенное решение исходной математической задачи.
Степень приближения определяемых с помощью численного метода искомых параметров модели зависит как от погрешностей самого метода, связанных с заменой исходной модели ее дискретным аналогом, так и от ошибок округления,возникающих при выполнении любых расчетов на ЭВМ в связи с конечной точностью представления чисел в ее памяти. Основным требованием к вычислительному алгоритму является необходимость получения решения исходной задачи с заданной точностьюза конечное число шагов. Возможности пакетовANSYS®, LS-DYNA3D® для решения задач ОМД методом конечных элементов и примеры его применения будут рассмотрены далее и на практических занятиях.
Если при численном подходе дискретизации подвергалась полученная система математических соотношений, то при имитационном подходена отдельные элементы разбивается сам объект исследования. В этом случае система математических соотношений для объекта-системы в целом не записывается, а заменяется некоторым алгоритмом, моделирующим ее поведение и учитывающим взаимодействие друг с другом моделей отдельных элементов системы. Модели отдельных элементов могут быть как аналитическими, так и алгебраическими.
Алгоритмические модели, использующие как численный, так и имитационный подход, не позволяют получить решения задач в аналитической форме, что затрудняет и усложняет процесс анализа результатов моделирования. Так как применение моделей данного типа возможно лишь при наличии вычислительной техники, то их эффективность зависит от мощности и быстродействия ЭВМ. Несомненным достоинством алгоритмических моделей является отсутствие принципиальных ограничений на сложность модели, что позволяет применять их для исследования систем произвольной сложности.
Использование математической модели, построенной алгоритмическими методами, аналогично проведению экспериментов с реальным объектом, только вместо реального эксперимента с объектом проводится вычислительный экспериментс его моделью. Задаваясь конкретным набором значений исходных параметров модели, в результате вычислительного эксперимента находим конкретный набор приближенных значений искомых параметров. Для исследования поведения объекта при новом наборе исходных данных необходимо проведение нового вычислительного эксперимента.
В обработке металлов давлением математические модели классифицируются по следующим признакам [7]:
– по назначению;
– по происхождению;
– по состоянию системы оборудование–обрабатываемая заготовка;
– по точности.
По назначению математические модели ОМД подразделяются на описательные и оптимизирующие. Описательные модели предназначены только для описания процесса, т.е. только для прогнозирования его параметров. оптимизирующие модели, кроме описания процесса содержат обязательно, некоторую целевую функцию.
По происхождению, т.е. по источнику получения использованных исходных предположений, математические модели процессов ОМД делятся на теоретические и экспериментальные. Теоретические модели создаются на основе наиболее общих современных научных знаний о процессе пластической деформации металлов и сплавов с использованием минимального объема экспериментальных данных. Базой для создания таких моделей служит современная теория механики сплошных сред и обработки металлов давлением. Экспериментальные модели создаются на основе статистического анализа наблюдений за ходом процесса и установления корреляционных связей между его параметрами.
По состоянию системы оборудование–обрабатываемая заготовка модели подразделяются на динамические и статические. Динамические модели предназначены для описания процесса ОМД в его развитии. Поэтому во всех динамических моделях входит время протекания процесса. Наличие временной характеристики в динамических моделях позволяет учитывать влияние любой нестационарности (кинематической, температурной, силовой, геометрической и т.п.) при прогнозировании параметров процесса ОМД и поведения системы оборудование–обрабатываемая заготовка. Динамические модели обеспечивают наиболее полное и всесторонне описание процесса ОМД как в нестационарных, так и стационарных условиях.
Моделирование – метод системного анализа. Но часто в системном анализе при модельном подходе исследования может совершаться одна методическая ошибка, а именно, - построение корректных и адекватных моделей (подмоделей) подсистем системы и их логически корректная увязка не дает гарантий корректности построенной таким способом модели всей системы. Модель, построенная без учета связей системы со средой и ее поведения по отношению к этой среде, может часто лишь служить еще одним подтверждением теоремы Геделя (о неполноте формальных систем), а точнее, ее следствия, утверждающего, что в сложной изолированной системе могут существовать истины и выводы, корректные в этой системе и некорректные вне ее.
Моделирование(в значении "метод", "модельный эксперимент") рассматривается как особая форма эксперимента, эксперимента не над самим оригиналом (это называется простым или обычным экспериментом), а над копией (заместителем) оригинала. Здесь важен изоморфизм систем (оригинальной и модельной) – изоморфизм, как самой копии, так и знаний, с помощью которых она была предложена.
Модели и моделирование применяются по основным направлениям:
– обучение (как моделям, моделированию, так и самих моделей);
– познание и разработка теории исследуемых систем (с помощью каких-либо моделей, моделирования, результатов моделирования);
– прогнозирование (выходных данных, ситуаций, состояний системы);
– управление (системой в целом, отдельными подсистемами системы), выработка управленческих решений и стратегий;
– автоматизация (системы или отдельных подсистем системы).
2.2. Системные принципы построения математических моделей
Математические модели в количественной форме, с помощью логико-математических конструкций, описывают основные свойства объекта, процесса или системы, его параметры, внутренние и внешние связи.
Для построения математической модели необходимо:
– тщательно проанализировать реальный объект или процесс;
– выделить его наиболее существенные черты и свойства;
– определить переменные, т.е. параметры, значения которых влияют на основные черты и свойства объекта;
– описать зависимость основных свойств объекта, процесса или системы от значения переменных с помощью логико-математических соотношений (уравнения, равенства, неравенства, логико-математические конструкций);
– выделить внутренние связи объекта, процесса или системы с помощью ограничений, уравнений, равенств, неравенств, логико-математических конструкций;
– определить внешние связи и описать их с помощью ограничений, уравнений, равенств, неравенств, логико-математических конструкций.
Математическое моделирование, кроме исследования объекта, процесса или системы и составления их математического описания, также включает:
- построение алгоритма, моделирующего поведение объекта, процесса или системы;
- проверка адекватности модели и объекта, процесса или системы на основе вычислительного и натурного эксперимента;
- корректировка модели;
- использование модели.
Математическое описание исследуемых процессов и систем зависит от:
- природы реального процесса или системы и составляется на основе законов физики, химии, механики, термодинамики, гидродинамики, электротехники, теории пластичности, теории упругости и т.д.
- требуемой достоверности и точности изучения и исследования реальных процессов и систем.
На этапе выбора математической модели устанавливаются: линейность и нелинейность объекта, процесса или системы, динамичность или статичность, стационарность или нестационарность, а также степень детерминированности исследуемого объекта или процесса. При математическом моделировании сознательно отвлекаются от конкретной физической природы объектов, процессов или систем и, в основном, сосредотачиваются на изучении количественных зависимостей между величинами, описывающими эти процессы.
Математическая модель никогда не бывает полностью тождественна рассматриваемому объекту, процессу или системе. Основанная на упрощении, идеализации она является приближенным описанием объекта. Поэтому результаты, полученные при анализе модели, носят приближенный характер. Их точность определяется степенью адекватности (соответствия) модели и объекта.
Построение (синтез) математической модели может основываться на классическом и системном подходах [10] (рис. 2.7). Процесс синтеза модели М на основе классического подхода (индуктивного) подхода представлен на рис. 2.7а. Реальный объект, подлежащий моделированию, разбивается на отдельные подсистемы, т.е. выбираются исходные данные Д для моделирования и ставятся цели Ц, отображающие отдельные стороны процесса моделирования. По отдельной совокупности исходных данных Д ставится цель моделирования отдельной стороны функционирования системы, на базе этой цели формируется некоторая компонента К будущей модели. Совокупность компонент объединяется в модель.
Таким образом, разработка модели М на базе классического подхода означает суммирование отдельных компонент в единую модель, причем каждая из компонент решает свои собственные задачи и изолирована от других частей модели.
Классический подход может быть использован для реализации сравнительно простых моделей, в которых возможно разделение и взаимно независимое рассмотрение отдельных сторон функционирования реального объекта. Для модели сложного объекта такая разобщенность решаемых задач недопустима, так как приводит к значительным затратам ресурсов при реализации модели на базе конкретных программно-технических средств. Можно отметить две отличительные стороны классического подхода: наблюдается движение от частного к общему, создаваемая модель (система) образуется путем суммирования отдельных её компонент и не учитывает возникновение нового системного эффекта.
а)
б)
Рис. 2.7. Процесс синтеза модели на основе классического а) и системного б) подходов
Процесс синтеза модели М на основе системного подхода представлен на рис. 2.7б. На основе исходных данных Д, которые известны из анализа внешней надсистемы (среды), тех ограничений, которые накладываются на систему сверху либо исходя из возможностей её реализации, и на основе цели функционирования формулируются исходные требования Т к модели системы S. На базе этих требований формулируются ориентировочно некоторые подсистемы П, элементы Э и осуществляется наиболее сложный этап синтеза – выбор В составляющих системы, для чего используются специальные критерии выбора КВ.
Дата добавления: 2017-01-26; просмотров: 4245;