Теплоотдача при свободном движении жидкости в большом объеме

1 2 34

В этом параграфе будет рассмотрено свободное гравитационное течение для наиболее простых форм поверхности твердого тела (вертикальная плита, горизонтальный цилиндр). Предполагается, что объем жидкости настолько велик, что свободное движение, возникающее у других тел, расположенных в этом объеме, не сказывается на рассматриваемом течении. Как и при вынужденной конвекции, свободное движение жидкости может быть как ламинарным, так и турбулентным.

9.2.1. Теплоотдача при свободном ламинарном движении вдоль вертикальной пластины.Пусть вертикальная пластина с неизменной температурой поверхности, равной , находится в жидкости или газе. Жидкость вдали от пластины неподвижна (вынужденное течение отсутствует), температура жидкости вдали от пластины постоянна и равна . Для простоты вычисления примем, что (однако полученные результаты будут справедливы и для обратного соотношения температур). При этом у пластины появляется подъемное движение нагретого слоя жидкости. Вдали от пластины скорость по-прежнему равна нулю.

Расположим начало координат у нижней кромки пластины, а ось нормально к ее поверхности (рис.9.1). Будем полагать, что пластина вдоль оси бесконечна. Процесс стационарный.

Рисунок 9.1. К выводу формулы для коэффициента теплоотдачи

при свободной тепловой конвекции

Для упрощения решения задачи примем следующие допущения:

1) силы инерции пренебрежимо малы по сравнению с силами тяжести и вязкости;

2) конвективный перенос теплоты, а также теплопроводность вдоль движущегося слоя жидкости можно не учитывать;

3) градиент давления равен нулю;

4) физические параметры жидкости (исключая плотность) постоянны; плотность является линейной функцией температуры.

Будем полагать, что температура в движущемся слое жидкости изменяется по уравнению

, (9.1)

где и ; согласно условию задачи .

Уравнение (9.1) удовлетворяет граничным условиям

. (а)

Коэффициент теплоотдачи определяется уравнением

. (9.2)

Из уравнения (9.1) следует, что

;

Подставляя значение в уравнение теплоотдачи (9.2), получаем:

. (9.3)

Толщина движущегося слоя жидкости переменна по высоте и связана со скоростью движения в этом слое. Поле скоростей описывается уравнением движения. При принятых условиях течение происходит в основном в направлении оси , поэтому используем уравнение движения только в проекциях на ось . Для стационарного течения и с учетом ранее принятых допущений уравнение движения упрощается. В результате вместо уравнения (5.18) будем иметь:

. (9.4)

При линейной зависимости плотности от температуры

где . Отсюда

Подставляя значение согласно (9.1) в уравнение (9.4) и учитывая последнее соотношение для плотности, уравнение движения можно написать следующим образом:

или

где

Интегрирование уравнения движения дает:

. (б)

Примем следующие граничные условия для скорости: как при , так и при . Отметим, что, строго, говоря, при скорость может быть не равна нулю. Это объясняется действием сил вязкости. Движущиеся частицы могут увлекать за собой слои жидкости, находящиеся в изотермических условиях.

При принятых граничных условиях из уравнения (б) следует, что

и .

Подставив значения и в уравнение (б) и произведя некоторые преобразования, получим следующее уравнение распределения скоростей в движущемся слое жидкости:

. (9.5)

На рис.9.2 приведено распределение скоростей согласно уравнению (9.5). Здесь же представлена кривая температура согласно уравнению (9.1). Максимум скорости соответствует значению

. (в)

Рисунок 9.2. Распределение температуры и скорости

согласно уравнениям (9.1) и (9.5)

Заметим, что распределение скоростей при не удовлетворяет условию . Производная при имеет конечное значение. Это обстоятельство является следствием приближенности решения. Характер изменения скоростей на внешней границе движущегося слоя показан пунктирной линией.

Согласно уравнению (9.5) среднеинтегральная скорость равна:

. (9.6)

Для простоты решения среднюю температуру жидкости в слое определим приближенно как среднеинтегральную по сечению слоя[2]:

. (9.7)

Таким образом, при принятых условиях средняя температура слоя не зависит от координаты .

Расход жидкости через поперечное сечения слоя равен:

(9.8)

. (г)

Расход жидкости определен по плотности . При этом полагаем, что жидкость плотностью , вовлекаясь в движущийся слой, приобретает в среднем скорость .

Подставляя в (г) значение согласно уравнению (9.6), получаем:

. (д)

В движение вовлекается жидкость с первоначальной температурой . В движущемся слое эта жидкость нагревается до различных температур, лежащих в интервале от до . Можно считать, что в среднем жидкость нагревается до температуры . На этот нагрев затрачивается теплота

. (е)

Из уравнения (е) следует, что

. (ж)

Приравнивая правые части уравнений (д) и (ж), получаем дифференциальное уравнение, описывающее изменение по высоте стенки,

. (з)

Интегрируя это уравнение, получаем:

. (и)

Постоянную интегрирования найдем из условия, что при . Отсюда .

Из уравнения (и) следует, что

. (9.9)

Согласно уравнению (9.3) . Подставляя сюда значение , получаем:

. (9.10)

Приведем уравнение (9.10) к безразмерному виду, для чего левую и правую части уравнения умножим на и разделим на .

После некоторых преобразований получим:

, (9.11)

где

и .

Как следует из уравнения (9.11), . Такой же результат дает теория подобия. Произведение чисел и часто называют числом Релея и обозначают символом .

В рассматриваемом случае температуры и постоянны, следовательно, неизменен и температурный напор . При этом осреднение коэффициента теплоотдачи по уравнениям (6.21) и (6.22) дает один и тот же результат.

Из уравнения (9.11) следует, что , где . При этом

где – местный коэффициент теплоотдачи в точке, определяемой координатой .

Тогда средняя теплоотдача вертикальной пластины при в ламинарном течении

. (9.12)

Коэффициенты пропорциональности в формулах (9.11) и (9.12) нуждаются в некоторых уточнениях. Формулы (9.11) и (9.12) получены при ряде упрощающих допущений. В частности, при выводе этих формул не учитывались силы инерции. Расчеты, проведенные с учетом сил инерции, показывают, что коэффициент пропорциональности в формулах (9.11) или (9.12) зависит от числа Прандтля. Результаты точных решений, выполненных Польгаузеном, Шу, Саундерсом, Греггом и Спэрроу, приведены на рис.9.3 по данным [94]. Здесь . Наиболее существенно проявляется влияние инерционных сил при небольших значениях чисел Прандтля. Кроме того, из рис.9.3 следует, что интенсивность теплоотдачи при постоянной температуре стенки примерно на 7% меньше, чем при постоянной плотности теплового потока на стенке.

Рисунок 9.3. Зависимость теплоотдачи

при свободной конвекции от числа Прандтля.

Экспериментальные исследования показывают, что при числах Прандтля, больших примерно 0,7, опытные данные можно описать формулой вида (9.11) или (9.12) с постоянными коэффициентами, однако значение коэффициентов несколько иное, чем в полученных ранее формулах. Помимо других причин, значения коэффициентов пропорциональности зависят от выбора определяющей температуры.

Для расчета местных коэффициентов теплоотдачи при свободном ламинарном течении вдоль вертикальных стенок можно использовать формулу [166]

, (9.13)

где определяющей является температура жидкости за пределами движущегося слоя ( выбирается по местной температуре стенки). Определяющий размер (продольная вдоль потока координата) отсчитывается от места начала теплообмена. На рис.9.4 показано сопоставление результатов расчета по формуле (9.13) с опытными данными.

Рисунок 9.4. Теплоотдача при свободной конвекции

у вертикальной поверхности в большом объеме жидкости

Формула (9.13) получена при условии, что . Осредняя коэффициенты теплоотдачи, получаем, что

при .

Тогда расчетная формула для средних коэффициентов теплоотдачи будет:

. (9.14)

Здесь определяющей температурой по-прежнему является температура жидкости за пределами движущегося слоя, определяющий размер – длина пластины, отсчитываемая от начала теплообмена.

Формула (9.13) получена для теплоносителей с числами Прандтля от 0,7 до . Ею следует пользоваться при .

Уравнение (9.13) получено при условии . Исходя из рис.9.3, для случая значение коэффициента пропорциональности в формуле (9.13) в первом приближении может быть взято равным примерно 0,55. При этом

9.2.2. Теплоотдача при свободном турбулентном движении вдоль вертикальной пластины. По данным работы [166] развитое турбулентное течение наступает при числах (см. рис.9.4).

Для местных коэффициентов теплоотдачи при развитом турбулентном течении в [166] предложена формула

. (9.15)

Определяющие температура и линейный размер выбраны так же, как и в формуле (9.13).

Линейный размер входит в числа и :

и .

Отсюда следует, что при развитом турбулентном течении коэффициент теплоотдачи не зависит от линейного размера, и следовательно, местный коэффициент теплоотдачи равен среднему.

9.2.3. Теплоотдача при переходном режиме свободного движения вдоль вертикальной пластины. Согласно опытным данным различных исследователей переходный режим имеет место примерно при . Переходный режим отличается неустойчивостью процесса течения и теплоотдачи и, как следствие, большим разбросом опытных точек.

В некоторых случаях, как это имело место в опытах [166] (рис.9.4), ламинарное течение сохраняется и при числах , больших . Развитое же турбулентное течение может наступить и при числах .

Переходная область течения имеет место на определенной длине стенки. В среднем теплоотдача при переходном режиме возрастает от значения, соответствующего ламинарному течению, до значения, соответствующего турбулентному движению жидкости.

Наибольшее и наименьшее значения коэффициента теплоотдачи в переходной области можно определить соответственно по уравнениям (9.15) и (9.13).

Изменение коэффициента теплоотдачи при подъемном свободном движении вдоль вертикальной стенки и связь этого изменения с характером движения показаны на рис. 9.5.

Рисунок 10.5. Изменение коэффициента теплоотдачи

при свободном движении вдоль вертикальной стенки

При ламинарном течении коэффициент уменьшается по высоте пропорционально . В переходной области течения коэффициент теплоотдачи нестабилен во времени и в среднем увеличивается до значений, характерных для турбулентного течения. При турбулентном течении коэффициент теплоотдачи от не зависит. Рисунок 9.5 показывает зависимость только от . Переменность физических параметров и по высоте может привести и к изменению коэффициентов теплоотдачи.

9.2.4. Теплоотдача при свободном движении около горизонтальной трубы. Описанная картина свободного движения вдоль вертикальной стенки типична также и для свободного движения у наклонной стенки, шаров, горизонтальных круглых и овальных труб. Большое практическое значение имеет теплоотдача горизонтальных труб.

Характер свободного движения около горячих горизонтальных труб представлен на рис.9.6. При прочих равных условиях чем больше диаметр труб, тем вероятнее разрушение ламинарного течения. У труб малого диаметра разрушение ламинарного течения может происходить вдали от трубы. Для расчета средних коэффициентов теплоотдачи при свободном ламинарном движении около горизонтальных труб может быть использована формула И.М.Михеевой [136]

. (9.16)