Понятие о комплексных числах. Комплексная плоскость

Из курса высшей математики известно, что число вида

, (1.1)

где и - любые действительные числа, - мнимая единица, называется комплексным числом в алгебраической форме.

При этом является действительной (реальной) частью комплексного числа и обозначается , соответственно является мнимой частью комплексного числа и обозначается .

Мнимая единица удовлетворяет соотношению

или . (1.2)

Если , то очевидно, что комплексное число является действительным числом; и если , то комплексное число является чисто мнимым числом.

Два комплексных числа и , имеющих одинаковые действительные и противоположные мнимые части, называются сопряженными комплексными числами.

Модуль комплексного числа

(1.3)

и его аргумент

. (1.4)

Комплексное число можно изобразить точкой или радиус-вектором на комплексной плоскости (рис. 1.1). При этом длина радиус-вектора соответствует модулю комплексного числа, определяемого по формуле (1.3), а угол между действительной осью комплексной плоскости и радиус-вектором соответствует аргументу комплексного числа, определяемому по формуле (1.4).