на алюминиевый цилиндр действует больший момент сил, чем на стальной

моменты сил, действующие на цилиндры, одинаковы

Решение

Так как цилиндры имеют одинаковую массу и высоту H, и объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту, то из условия следует ( ),

,

Так как то По определению модуль момента силы относительно точки О равен

и на цилиндры действуют одинаковые силы , то при условии, что получаем

O

19. Планета массой m движется по эллиптической орбите, в одном из фокусов которой находится звезда массой М. Если – радиус-вектор планеты, то справедливым является утверждение

момент импульса планеты относительно центра звезды при движении по орбите изменяется

момент силы тяготения, действующей на планету, относительно центра звезды равен нулю

соотношение, связывающее скорости планеты и в точках минимального и максимального ее удаления от звезды с расстояниями r₁ и r₂, имеет вид / = r₁/r₂.

Решение

Примечание.Буквой М обозначается масса звезды (для решения задачи не понадобится) и модуль момента силы, действующей на планету.

По определению момент силы тяготения, действующей на тело, относительно звезды равен

, ,

где радиус-вектор материальной точки относительно т. О, – угол между радиус-вектором и силой тяготения. Так как радиус-вектор направлен от звезды к телу, а сила притяжения – от тела к звезде, то угол равен 180°. Тогда

,

т. е. момент силы тяготения, действующей на планету, относительно центра звезды равен нулю. (Второе утверждение верно).

Полное решение

Так как

т. е. момент импульса планеты относительно центра звезды при движении по орбите не изменяется. (Первое утверждение не верно). По определению момент импульса тела относительно звезды равен

, ,

где радиус-вектор материальной точки относительно т. О, – угол между радиус-вектором и импульсом тела. Тогда в точках минимального и максимального удаления от звезды (см. рисунок) равен 90°, т. е.

Так как т. е. то

или

Следовательно, третье утверждения неверно.

20. Диск радиусом 1 м, способный свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через точку О перпендикулярно плоскости рисунка, отклонили от вертикали на угол π/2 и отпустили. В начальный момент времени угловое ускорение диска равно ……… c^-2

7

Решение

Сила тяжести и импульсы точек диска лежат в вертикальной плоскости, перпендикулярной горизонтальной оси вращения, проходящей через т.О.

Модуль момента силы тяжести относительно точки О, в начальный момент времени равен

,

где R – радиус диска (плечо силы). Момент инерции диска относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести (точку С), равен

Момент инерции диска относительно горизонтальной оси, проходящей через точку О, найдем по теореме Штейнера:

Для частного случая основной закон вращательного движения имеет вид

21. К стержню приложены три одинаковые по модулю силы, как показано на рисунке. Ось вращения перпендикулярна плоскости рисунка и проходит через точку О. Вектор углового ускорения направлен….

вдоль оси вращения «к нам»

вдоль оси вращения «от нас»

влево

вправо

Решение

По определению момент силы равен

[ ], M = lF,

где l – плечо вектора (длина перпенди­куляра, опущенного из т. О на линию вектора ), радиус-вектор точки приложения силы относительно т. О. Как следует из рисунка

.

Суммарный момент сил, действующий на стержень равен

.

Вектор [ ]( ) направлен вдоль оси вращения «к нам» (по определению направления векторного произведения векторов, т. е. правила правого винта), а вектора [ ]( ) и [ ]( ) направлены одинаково вдоль оси вращения «от нас».

Пусть

.

Тогда

.

Так как вектора и направлены вдоль одной прямой, но в разные стороны, то их сумма

направлена в сторону большего по модулю вектора, т. е. . Из основного уравнения вращательного движения следует, что

,

где момент инерции стержня. Следовательно, направлен как вдоль оси вращения «от нас».