Система твердых тел и материальных точек

(вращение вокруг неподвижной оси)

Все уравнения, справедливые для вращения вокруг неподвижной оси одного тела, остаются справедливыми и для системы тел с заменой суммы моментов сил приложенных к одному телу на сумму моментов тольковнешних сил, приложенных ко всем телам системы .При выполнении условия сохранения момента импульса системы тел, моменты импульса тел системы могут изменяться.

Тесты с решениями

1. Из жести вырезали три одинаковые детали в виде эллипса. Две детали разрезали пополам вдоль разных осей симметрии. Затем все части отодвинули друг от друга на одинаковое расстояние и расставили симметрично относительно оси OO'. (здесь момент инерции обозначен буквой I, а не J ). Для моментов инерции относительно оси OO' справедливо соотношение …

I₁ > I₂ > I₃

I₁ = I₂ > I₃

I₁ < I₂ < I₃

I₁ < I₂ = I₃

Решение

Так как на первом и втором рисунке все части тела (массы) находятся на одном и том же расстоянии от оси, то I₁ = I₂ и сразу выбираем неравенство 2. При той же массе части тела на третьем рисунке расположены ближе к оси. Следовательно, момент инерции I₃ меньше I₁ и I₂.

2.Рассматриваются три тела: диск, тонкостенная труба и сплошной шар; причем массы m и радиусы R шара и оснований диска и трубы одинаковы. Верным для моментов инерции рассматриваемых тел относительно указанных осей является соотношение …

Решение

Момент инерции сплошного однородного кругового цилиндра (диска) массы m и радиуса R относительно его оси

Момент инерции диска относительно указанной оси вычисляется с использованием теоремы Штейнера:

Момент инерции тонкостенного кругового цилиндра массы m и радиуса R относительно его оси и момент инерции шара массы m и радиуса R

Таким образом, правильным соотношением для моментов инерции рассматриваемых тел относительно указанных осей является соотношение

.

3.Если ось вращения тонкостенного кругового цилиндра перенести из центра масс на образующую, то момент инерции относительно новой оси… раза.

увеличится в 2

уменьшится в 2

увеличится в 1,5

уменьшится в 1,5

Решение

Момент инерции тонкостенного кругового цилиндра массы m и радиуса R относительно оси, проходящей через центр масс

.

Момент инерции относительно оси, проходящей через образующую, найдем по теореме Штейнера

Тогда , т. е. момент инерции увеличится в 2 раза.

4.Четыре шарика расположены вдоль прямой а. Расстояния между соседними шариками одинаковы. Массы шариков слева направо: 1 г, 2 г, 3 г, 4 г. Если по менять местами шарики 1 и 4, то момент инерции этой системы относительно оси О, перпендикулярной прямой а и проходящей через середину системы …

увеличится

не изменится

уменьшится

Решение

Моменты инерции системы шаров относительно оси О в первом и втором случае равны, так как шары 1 и 4 находятся на одинаковом расстоянии от оси

Следовательно, момент инерции системы не изменится.

Примечание. Если поменять местами 1 и 2, то момент инерции увеличится, так как более тяжелый шар будет находиться дальше от оси вращения.

5. Если момент инерции тела увеличить в 2 раза, а скорость его вращения уменьшить в 2 раза, то момент импульса тела

уменьшится в 4 раза

увеличится в 4 раза

уменьшится в 2 раза

не изменится

Решение

Проекция момента импульса тела для случая вращательного движения вокруг неподвижной оси имеет вид

.

Тогда получаем, что

Для частного случая вращательного движения , следует, что .

6. Диск начинает вращаться вокруг неподвижной оси с постоянным угловым ускорением. Зависимость момента импульса диска от времени представлена на рисунке линией …

B

A

C

D

E

Решение

Проекция момента импульса тела для случая вращательного движения вокруг неподвижной оси имеет вид

Так как диск начинает вращаться с постоянным угловым ускорением, то это равноускоренное вращение без начальной скорости, т.е.

Следовательно,

т. е. линейно возрастающая функция времени (линия В).

Примечание1.В условии задачи говорится о моменте импульса, а на графике – проекция момента на ось Z.

Примечание2.Так как диск начинает вращаться, то момент импульса вначале равен нулю, т.е. только линия В. Если бы в задаче диск тормозил, то момент импульса стремился бы к нулю, т.е. только линия D.

7.Диск начинает вращаться под действием момента сил, график временной зависимости которого представлен на рисунке:

Правильно отражает зависимость момента импульса диска от времени график.

1 2 3 4

Решение

Если диск начинает вращаться, то

Так как от t₁ до t₂ , то

.

Следовательно, правильный график –1.

8. Абсолютно твердое тело вращается с угловым ускорением, изменяющимся по закону , где некоторая положительная константа. Момент инерции тела остается постоянным в течение всего времени вращения. Зависимость от времени момента сил, действующих на тело, определяется графиком…

1 2 3 4 5

Решение

Так как при , то это проекцияуглового ускорения, т. е. Основное уравнение динамики вращательного движения имеет вид

.

Будем считать, что имеет место частный случай для вращательного движения и . Предположим, что , и , т. е. . Тогда

и это линейно убывающая от значения до нуля функция (график 1).

Полное решение

Если , то

и это линейно возрастающая из нуля функция, т. е. график 4. Если , то

и это линейно возрастающая от значения функция (такого графика нет). Если , то

для имеем

и это линейно убывающая от значения до нуля функция (график 1);

для имеем

и это линейно возрастающая от значения функция (такого графика нет).

9.Величина момента импульса тела изменяется с течением времени по закону (в единицах СИ). Если в момент времени 2 с угловое ускорение составляет 3c^-2 , то момент инерции тела (в кг · м²) равен …

5

0,2

0,5

Решение

Указанная зависимость относится к проекции момента импульса, а не к модулю, так как при (в единицах СИ), т. е.

Так как

то (кг·м).

Основное уравнение динамики вращательного движения имеет вид

10. Момент импульса тела относительно неподвижной оси изменяется по закону: L₁ = c, L₂ = ct, L₃ = ct^3/2, L₄ = ct², где с – константа. (Речь идет о проекциях момента импульса на ось, но индекс z не указан). Укажите графики, правильно отражающие зависимость от времени величины момента сил, действующих на тело.

1 2 3 4

Решение

Основное уравнение вращательного движения

т. е.

Для частного случаявращательного движения . Тогда независимо от знака c для нет соответствующей зависимости, для четвертая, для вторая и для третья.

11. Однородный диск массы m и радиуса R вращается под действием постоянного момента сил вокруг оси, проходящей через его центр масс и перпендикулярной плоскости диска. Если ось вращения перенести параллельно на край диска, то (при неизменном моменте сил) для момента инерции J и углового ускорения диска справедливы соотношения …

Решение

Если тело не меняется, то по теореме Штейнера ( – расстояние между осями)

где . Тогда

Исходя из основного уравнения вращательного движения для частного случая,имеем

Так как по условию задачи и , то

12.Диск может вращаться вокруг оси, перпендикулярной плоскости диска и проходящей через его центр. К нему прикладывают одну из сил ( или ), лежащих в плоскости диска и равных по модулю. Верным для угловых ускорений диска является соотношение …

,

,

.

Решение

Считаем момент сил относительно точки О. Для частного случая вращательного движения, основное уравнение динамики имеет вид

Так как

,

где плечо силы, т. е. длина перпендикуляра опущенного из т. О на линию действия силы, то

Так как все силы равны по модулю, то

13.Диск может вращаться вокруг оси, перпендикулярной плоскости диска и проходящей через его центр. В точке А прикладывают одну из сил ( или ), лежащих в плоскости диска. Верным для моментов этих сил относительно рассматриваемой оси является соотношение …

Решение

По определению

где угол между направлением радиус-вектора точки приложения силы (совпадает с направлением ) и направлением силы. С другой стороны это проекция силы на направление, перпендикулярное радиус-вектору, т. е. на направление, совпадающее с .

Из рисунка видно, что проекции сил на направление, совпадающее с , одинаковые, а проекция на это направление равна нулю. Таким образом, имеем

14. Диск равномерно вращается вокруг вертикальной оси в направлении, указанном на рисунке белой стрелкой. В некоторый момент времени к ободу диска была приложена сила, направленная по касательной. При этом правильно изображает направление углового ускорения диска вектор …

		4

Решение

В частном случае основное уравнение вращательного движения

Так как

то направлено вдоль вектора 4 (правило правого винта) и, следовательно, направлено вдоль вектора 4.

Дополнение. Соединяем вектора и началами и вращаем правый винт по кратчайшему пути от первого вектора в векторном произведении ко второму вектору . Тогда поступательное движение правого винта укажет на направление вектора .

15. Диск равномерно вращается вокруг вертикальной оси в направлении, указанном на рисунке белой стрелкой. В некоторый момент времени к ободу диска была приложена сила, направленная по касательной. До остановки диска правильно изображает направление угловой скорости вектор

		4

Решение

Направление вектора угловой скорости связано с направлением вращения тела правилом правого винта (см. теорию). В данном случае вектор ориентирован в направлении 4. После приложения силы движение становится замедленным, но тело продолжает вращаться в ту же сторону вплоть до остановки.

16.Диск вращается вокруг вертикальной оси в направлении, указанном на рисунке белой стрелкой. К ободу колеса приложена сила , направленная по касательной. Правильно изображает направление момента силы вектор …

		4

Решение

Момент силы определяется соотношением , где – радиус-вектор точки приложения силы. Направление вектора момента силы можно определить по правилу векторного произведения или по правилу правого винта (буравчика). Таким образом, момент силы правильно изображает вектор 4.

Дополнение. Смотри задачу 14.

17.Направления векторов момента импульса и момента силы для равнозамедленного вращения твердого тела правильно показаны на рисунке …

3

Решение

Так как сила лежит в плоскости, перпендикулярной оси вращения, то при задании момента относительно центра диска , он направлен вдоль оси, т. е. 1 или 3 вариант. Точнее направления и связаны правилом правого винта. При задании момента относительно центра диска при замедленном вращательном движении имеем . Этому условию соответствует только рисунок 3.

18. Алюминиевый и стальной цилиндры имеют одинаковую высоту и равные массы. На цилиндры действуют одинаковые по величине силы, направленные по касательной к их боковой поверхности. Относительно моментов сил, действующих на цилиндры, справедливо одно из следующих суждений

моменты сил, действующие на цилиндры, равны нулю

на стальной цилиндр действует больший момент сил, чем на алюминиевый