Основные задачи механики жидкостей и газов.

1. Определение усилий, действующих на тела, движущихся в жидкости или газе. Например, определение силы лобового сопротивления самолёта для расчета мощности его двигателя. Определение силы торможения парашюта, расчёт ветровой нагрузки телебашен, линий электропередач и т.д.

2. Определение наиболее выгодных форм тел. Например, формы крыльев самолёта, корпуса подводной лодки, лопаток турбины и т.п.

3. Определение режима течения в каналах, трубах. Если, например, ламинарный режим изменяется на турбулентный, то изменяются и уравнения, описывающие течения, и конечные решения.

4. Изучение распространения механических волн. Например, распространение ультразвуковых волн при локации кораблей и подводных лодок. Изучение закономерностей ударных волн, возникающих при взрыве атомных бомб, от самолётов, движущихся со скоростями больше скорости звука в атмосфере.

1) Понятие о сжимаемости.

	Пусть имеется деформируемое тело длиной L, которое мы в некоторый момент начнём толкать слева направо со скоростью (Рис.5.1). Придёт ли всё тело сразу в движение со скоростью ? Нет. Левый конец начнёт двигаться сразу. По телу от левого конца к правому побежит
Рис. 5.1

волна упругого воздействия со скоростью звука . В течении времени правый конец не будет «знать», что левый угол двигается, и будет стоять. За это время левый конец пройдёт расстояние . Тело станет короче на величину , т.е. сожмётся на эту величину. Относительное сжатие тела будет:

.

Отношение обозначают числом и называют числом Маха по имени австрийского физика и философа Эрнста Маха (1838 – 1916). Видно, что сжимаемость равна отношению скорости движения к местной скорости звука – числу Маха. Чем больше скорость звука в веществе, тем меньше его сжимаемость. Скорость звука в воздухе 330 м/с, в воде 1400 м/c и в металлах 4000 7000 м/c.

Условно считают, что если , то жидкость не сжимаема, а если , то жидкость сжимаемая. Например, если пуля летит со скоростью 800 м/с в воде, то . Поэтому вода для летящей пули – сжимаемая жидкость.

Вязкость. Все реальные жидкости являются вязкими. Вязкость (внутреннее трение) проявляется в том, что при движении в жидкости тело встречает сопротивление. Из опыта известно: чтобы поддерживать постоянным течение жидкости в трубе, необходимо наличие между концами трубы разности давлениё. Необходимость сил давления указывает на то, что эти силы уравновешиваются какими-то силами, тормозящими движение. Этими силами являются силы внутреннего трения на границе со стенкой трубы и на границах между слоями.

	Более быстрый слой стремится увлечь за собой более медленный слой, действуя на него с силой , направленной по течению. Одновременно более медленный слой стремится замедлить движение более быстрого слоя, действуя на него силой , направленной против течения (Рис. 5.2). Экспериментально установлено, что модуль силы
Рис. 5.2

внутреннего течения, приложенный к площадке S, лежащей на границе между слоями, определяется формулой:

где коэффициент пропорциональности, зависящий от природы жидкости и её состояния (например, температуры), производная скорости жидкости по радиусу, показывающая, как быстро изменяется в данном месте скорость течения в направлении оси r, перпендикулярной к площадке S.

Под идеальной жидкостью понимают жидкость, в которой нет сил внутреннего трения, т.е. вязкость равна нулю (более строго говорят, что жидкость не оказывает сопротивления деформации сдвига).

Поле скоростей. Движение жидкости характеризуется совокупностью функций скоростей, с которыми проходят через каждую точку отдельные частицы жидкости. Совокупность векторов , заданных для всех точек пространства течения жидкости, называется полем вектора скорости. Это поле наглядно можно изобразить с помощью линий тока. Линия тока – такая линия, в каждой точке которой в данный момент времени вектор скоростей направлен по касательной.

	Поверхность тока – совокупность линий тока, проходящих через некоторую кривую (Рис. 5.3). Часть жидкости, ограниченная замкнутой поверхностью тока, называется трубкой тока. Если скорость в каждой точке пространства остаётся постоянной ( ), то течение жидкости называется стационарным (установившимся).
Рис. 5.3

3) Уравнение неразрывности. Пусть имеется достаточно тонкая трубка тока (скорость во всех точках поперечного сечения одинакова) несжимаемой жидкости. При стационарном течении трубка тока подобна стенкам жёсткой трубы. Поэтому через сечение S за время пройдёт объём жидкости , а в единицу времени .

	Возьмём 2 сечения трубки тока (Рис. 5.4). Если жидкость несжимаема, то количество её между этими сечениями остаётся неизменным. Отсюда следует, что объёмы жидкости, протекающие в единицу времени через сечения и
Рис. 5.4

должны быть одинаковыми: . Это равенство справедливо для любой пары произвольно взятых сечений. Следовательно, для несжимаемой жидкости при стационарном течении произведение в любом сечении данной трубки тока имеет одинаковое значение:

Это утверждение носит название теоремы о неразрывности струи. Она применима даже к газам, если их сжимаемостью можно пренебречь ( ). Примеры: 1) В узком месте река течёт быстро, в широком – медленно. 2) Пожарный брандспойт имеет сужающийся наконечник, чтобы скорость воды была больше и струя летела дальше.

Уравнение Бернулли.

Рассмотрим стационарное течение идеальной несжимаемой жидкости. Выделим трубку тока, а в ней объём жидкости, ограниченной стенками узкой трубки тока и перпендикулярными к линии тока сечениями и . За некоторое время этот объём сместится вдоль трубки тока, причём граница объёма получит перемещение , а граница перемещение (Рис. 5.5).

	Работа, совершаемая при этом силами давления, равна приращению полной механической энергии: , заключённой в рассматриваемом объёме жидкости (на рисунке между сечениями 1 и 2).
Рис. 5.5

,

где вследствие несжимаемости жидкости, , а (на рисунке эти объёмы заштрихованы).

Полная энергия рассматриваемого объёма жидкости слагается из кинетической энергии и потенциальной энергии в поле сил земного тяготения. Возьмём сечения S трубки тока и перемещения настолько малым, чтобы всем точкам каждого из заштрихованных объёмов можно было приписать одно и то же значение скорости , давления и высоты h. Приращения полной энергии (это разность полных энергий заштрихованных объёмов):

, т.к. , то

.

Приравняв А и DЕ, сократив на и перенеся члены с одинаковыми индексами в одну сторону, получим:

Заметим, что уравнение вполне строго лишь при , т.е. для одной и той же линии тока. Так как и были выбраны произвольно, то можно утверждать, что для любой линии тока в стационарно текущей идеальной и несжимаемой жидкости выполняется условие:

уравнение Бернулли

Уравнение выражает для движущейся жидкости закон сохранения механической энергии.

Для горизонтальной линии тока:

Если скорость течения вдоль линии тока возрастёт, то давление падает и наоборот. Уравнение используется, например, в аэродинамических измерениях скорости потока газа. Обычно измеряют полное давление и статическое давление P в исследуемой точке потока, а значение скорости определяют как .

4) Течение вязкой жидкости. Формула Пуазейля.

Для практических применений представляет особый интерес течение в круглой трубе (нефте- и газопроводы). Измерения показывают, что при медленном течении скорость частиц жидкости изменяется от нуля в непосредственной близости к стенкам трубы до максимума на оси трубы.

Найдём закон изменения скорости по радиусу трубы. Выделим воображаемый цилиндрический объём жидкости радиуса r и длины (Рис.5.7). При стационарном течении этот объём движется без ускорения. В направлении движения на жидкость действует сила давления, модуль

	которой равен , во встречном направлении . Результирующая сила давления: . На боковую поверхность действует тормозящая сила трения: .
Рис. 5.7

(Замечание: модуль отрицательного числа равен этому числу, взятому с обратным знаком).

Приравняв и , получим:

.

Производя сокращения и разделив переменные, получим:

.

Интегрируем:

При , отсюда

.

Подставим константу в выражение для

.

Скорость на оси трубы равна:

.

С учётом этого:

Вычислим поток жидкости Q, т.е. объём жидкости, протекающей через поперечное сечение трубы в единицу времени. Через кольцо радиуса шириной dr пройдёт в единицу времени объём жидкости dQ, равный

	произведению площади кольца на скорость на расстоянии от оси трубы: . Проинтегрировав от 0 до R, получим:
Рис. 5.8

Подставив значение , получим формулу Пуазейля (французский учёный):

Физический смысл формулы: объём Q жидкости, протекающий за секунду через поперечное сечение трубы, прямо пропорционален разности давлений и у входа в трубу и на выходе из неё, четвёртой степени радиуса трубы и обратно пропорционален длине трубы и коэффициенту вязкости жидкости.

Формула справедлива только при ламинарном течении жидкости (см. далее). Формула применяется для определения коэффициента вязкости жидкостей, а также для оценки необходимого перепада давления для получения нужного объёмного расхода.

5) Ламинарный и турбулентный режимы течения.

Если при течении жидкости слои жидкости скользят относительно друг друга не перемешиваясь, такое течение называется ламинарным (или слоистым; lamina – (лат.)пластина, плоская).

Ламинарное течение наблюдается обычно при медленном течении. Если увеличить скорость течения, то при достижении определенного значения скорости характер течения резко меняется. Скорость частиц в каждой точке пространства всё время быстро и нерегулярно изменяется. Такое течение называется турбулентным (turbulentus (лат.) – бурный, беспорядочный). При турбулентном течении проходит интенсивное перемешивание жидкости.

Английский физик Рейнольдс (1842 – 1912) установил, что характер течения определяется значением безразмерной величины:

где плотность жидкости (или газа); средняя по сечению трубы скорость потока; вязкость жидкости; характерный для поперечного сечения потока размер, например, диаметр при круглом сечении, или сторона квадрата при квадратном сечении.

Величина Re называется числом Рейнольдса. При малых Re течение носит ламинарный характер. Начиная с некоторого значения Re, называемого критическими, течение приобретает турбулентный характер. Значение Reкр для течения вязкой несжимаемой жидкости в круглой цилиндрической трубе Reкр » 2,3×10³. Примеры турбулентного течения: вода Reкр в горном потоке, за кормой корабля, дым из фабричной трубы т.п.

6) Циркуляция скорости. Рассмотрим поле скоростей жидкости . В этом поле возьмём произвольный замкнутый контур L (Рис. 5.9).

	Пусть элемент длины контура. Интеграл называется циркуляцией вектора скорости по контуру L. Если циркуляция скорости по любому замкнутому контуру, охватывающему обтекаемое тело равна нулю, то
Рис. 5.9

движение жидкости (газа) называется потенциальным. В противном случае движение называется вихревым.

Н.Е. Жуковский впервые установил вихревую природу сил, действующих со стороны потока на крыло и указал на наличие простой зависимости между силой и циркуляцией скорости по контуру, охватывающему обтекаемое идеальной несжимаемой жидкостью крыло (Рис. 5.10).

	Сверху профиль крыла выпуклый, линии тока сверху крыла сгущаются, сечение потока уменьшается, скорость больше, чем снизу, где профиль плоский. Циркуляция скорости потока по контуру профиля крыла оказывается отличной
Рис. 5.10

от нуля. Согласно формуле Жуковского возникает подъёмная сила :

где и соответственно плотность потока и скорость невозмущённого крылом потока.

Лекция № 6

Элементы специальной теории относительности.

План.

1. Принцип относительности Эйнштейна: постулат относительности, постулат постоянства скорости света. Роль скорости света. Преобразования Лоренца.

2. Лоренцево сокращение длины и замедление времени.

3. Релятивистский импульс. Взаимосвязь массы и энергии.

1) Принцип относительности Эйнштейна.

Классическая механика, основанная на законах Ньютона справедлива только для тел, движущихся со скоростями, много меньшими скорости света в пустоте ( ). Для описания движений, совершающихся со скоростями, сравнимыми со скоростью света, Эйнштейн создал релятивистскую механику (relativus (лат.) – относительный). Различают специальную (являющуюся предметом нашего рассмотрения) и общую теорию относительности. Специальная означает рассмотрение явлений в инерциальных системах отсчёта.

В основе теории – принцип относительности, состоящий из двух постулатов:

1. Постулат относительности. Все законы природы и уравнения, их описывающие, инвариантны, т.е. не меняются при переходе от одной инерциальной системы отсчёта к другой (Замечание: неизменность вида уравнений при замене координат и времени одной системы отсчёта координатами и временем другой системы называется инвариантностью).

2. Постулат постоянства скорости света. Скорость света в вакууме не зависит от движения источника и приёмника света и одинакова во всех направлениях, т.е. скорость света в вакууме одинакова во всех инерциальных системах отсчёта.

Роль скорости света. Скорость света занимает особое положение в природе. В отличие от всех других скоростей, меняющихся при переходе от одной системы к другой, скорость света в пустоте является инвариантной величиной. Из постулатов Эйнштейна следует, что скорость света в вакууме является предельной: никакой сигнал, никакое воздействие одного тела на другое не могут распространяться со скоростью, превосходящей скорость света в вакууме. Именно предельный характер этой скорости и объясняет одинаковость скорости света во всех системах отсчёта (Значение предельной скорости должно быть одинаково во всех инерциальных системах отсчёта).

Преобразования Лоренца. (голландский физик 1853 – 1928 гг.)

Рассмотрим две инерциальные системы отсчёта К и . Пусть система движется относительно системы К со скоростью (Рис. 6.1).

	Направим координатные оси так: Х и – совпадают и направлены параллельно вектору , а оси и – параллельны друг другу. Возьмём за начало отсчёта времени в обеих системах момент, когда начала координат О и совпадают ( ).Предположим, что в момент времени t (в К системе) в
Рис. 6.1

точке с координатами произошло некоторое событие, например, вспыхнула лампочка.

Преобразования Лоренца дают связь координат и момента времени события системы с координатами и моментом времени t в системе К (прямые преобразования) и наоборот (обратные преобразования). Приводим их без вывода.

Прямые преобразования	Обратные преобразования

где .

2) Лоренцево сокращение длины.

Расположим неподвижный в системе стержень вдоль оси . Пусть длина стержня в – системе равна (собственная длина стержня). В К – системе, относительно которой стержень движется, его длину определяют как расстояние между координатами и его концов в один и тот же момент времени . Воспользовавшись прямыми преобразованиями Лоренца, получим:

, вычитаем одно уравнение из другого:

, или

т.к. , то .

Таким образом, длина стержня, измеренная в системе, относительно которой он движется оказывается меньше длины , измеренной в системе, относительно которой стержень покоится. Это явление называется лоренцевым сокращением длины.

Замедление времени.

Пусть в точке , неподвижной относительно системы , происходит событии, длящееся время . Относительно системы К начало и конец события (согласно обратным преобразованиям):

, вычитая из второго уравнения первое, получим:

.

Обозначим длительность события в системе К , тогда

т.к. , тогда .

Время , считаемое по часам, движущемся вместе с телом, называется собственным временем тела. Таким образом, время, отсчитанное по часам, относительно которых система движется, всегда больше собственного времени (замедление времени).

Соотношение получило непосредственное экспериментальное подтверждение. Среднее время жизни –мезонов в условиях, когда они неподвижны (собственной время) порядка ~ . Образуются –мезоны при взаимодействии космических лучей с атмосферой на высоте ~ км.

Двигаясь со скоростью света (оценка «сверху») – мезоны могут пройти путь лишь порядка 600 м. Однако, они регистрируются и на Земле. Дело в том, что время, отсчитанное по часам экспериментатора, связанного с Землёй, оказывается гораздо большим ( близка к с) и пробег мезонов составляет ~ 30 км и они достигают Земли.

В своё время недоверчивым скептикам Эйнштейн предлагал проделать мысленный эксперимент.

	Пусть имеется движущий вагон с лампочкой посередине него. В некоторый момент лампочка вспыхивает. Если наблюдатель находится в вагоне, то относительно него свет достигает задней и передней стенки вагона одновременно (Рис. 6.2 а). Если же наблюдатель находится вне вагона. То относительно него свет достигает задней стенки быстрее, чем передней (Рис. 6.2 б). Мысленный эксперимент демонстрирует относительность понятия одновременности.
Рис. 6.2 а
Рис. 6.2 б

3) Релятивистский импульс.

Ньютоновское выражение импульса

. В релятивистской теории выражение для импульса, обеспечивающее инвариантность закона сохранения импульса и переход в ньютоновскую форму при , получается, если заменить время dt собственным временем частицы , тогда

.

В такой форме выражение:

называется релятивистским импульсом. При релятивистское выражение переходит в ньютоновское . Постоянная величина называется массой покоя, поскольку является мерой инертности при нулевой скорости. Величина

называется релятивистской массой.

Взаимосвязь массы и энергии.

Используя выражение для релятивистского импульса запишем релятивистское уравнение движения:

Чтобы найти релятивистское выражение для энергии, умножим уравнение на перемещение частицы :

Правая часть этого соотношения даёт работу , совершаемую над частицей за время dt. Из закона сохранения энергии следует, что работа, совершённая над частицей должна быть равна приращению энергии частицы dE, то есть .

Поэтому можно написать:

.

Опуская дальнейшее преобразования, являющиеся весьма непростыми, и некоторые любознательные читатели могут найти в более полных курсах физики, например, [1], [2], приведём результат преобразований:

.

Интегрирование полученного соотношения даёт:

Физический смысл этой формулы: полная энергия тела E (системы тел), из каких бы видов энергии она не состояла (кинетической, электрической, химической и т.д.) связана с массой этого тела соотношением . В полную энергию не входит потенциальная энергия тела во внешнем поле, если таковая действует на тело.

В том случае, когда тело покоится ( ), то оно обладает энергией

которая называется энергией покоя. Из соотношения вытекает, что энергия тела и его масса пропорциональны друг другу. Всякое изменение энергии тела (за исключением изменения потенциальной энергии во внешнем поле сил) сопровождается изменением массы тела и наоборот.

Это утверждение называется законом взаимосвязи массы и энергии.

Пример. Рассмотрим реакцию деления ядер урана при захвате медленных нейтронов:

Суммарная масса покоя урана-235 и нейтрона превосходит суммарную массу покоя частиц в правой части ( ) на кг. Отвечающая этому избытку массы энергия

Дж. (на одну пару взаимодействующих частиц) превращается в кинетическую энергию образующих частиц и в энергию возникающего при делении электромагнитного излучения.

Создание атомных электростанций (как, впрочем и создание атомной бомбы) стало возможным в частности благодаря теоретической основе – полученному Эйнштейном соотношению . Это позволило нобелевскому лауреату Максу Борну заявить, что: "идеи Эйнштейна дали физической науке импульс, который освободил её от устаревших философских доктрин и превратил в одну из решающих сил современного мира людей".

Литература:

1. Иродов.И.Е. Механика. Основные законы. – М – С – Пет.: Физматлит, 2000. – 320 с.

2. Савельев И.В. Курс общей физики. В 3 т. т.1 – М.: Наука, 1987. – 432 с.

3. Сивухин Д.В. Общий курс физики. В 5 т. Т.1 – М.: Наука, 1974. – 519 с.

4. Трофимова Т.И. Курс физики. – М.: Высш. Шк., 1990. – 478 с.

5. Матвеев А.Н. Механика и теория относительности. – М.: Высшая школа., 1976. – 416 с.

6. Кунин В.Н. Конспект лекций по трудным разделам физики. – Владимир, изд. ВПИ., 1982. – 52 с.

7. Физика. Программа, методические указания и задачи для студентов – заочников (с примерами решения). – Владимир, Владим. Гос. Ун-т; Сост. А.Ф. Галкин, А.А. Кулиш, В.Н. Кунин, В.С. Плешивцев; Под ред. А.А. Кулиша, 2002. – 128 с.