Подъёмная сила крыла. Теорема Жуковского

Первая попытка исследовать природу подъёмной силы была сделана итальянским учёным и художником Леонардо да Винчи в 1505 г. Он считал, что подъемная сила, поддерживающая птицу, возникает из-за уплотнения воздуха под крыльями.

В 1852г. Магнус, член-корреспондент Петербургской академии наук, провёл серию опытов для объяснения явления отклонения от вертикальной плоскости вращающихся артиллерийских снарядов. Он показал, что поперечная сила, вызывающая это отклонение, возникает из-за взаимодействия двух потоков воздуха:

· набегающего на снаряд;

· вращающегося вместе со снарядом.

Это явление, получившее название эффект Магнуса, было исследовано в 1902-1906 гг Николаем Егоровичем Жуковским.

В 1906году в своей работе « О присоединённых вихрях» он публикует знаменитую «Теорему Жуковского», объясняющую образование подъемной силы.

Важным понятием, лежащим в основе понимания теоремы Жуковского, является вихрь и определяемая им циркуляция.

Рассмотрим обтекание вращающегося цилиндра (рис. 2.10).

Рис. 2.10. Эффект Магнуса (вращающийся цилиндр)

У вращающегося цилиндра спектр обтекания несимметричный, так как на верхней поверхности цилиндра скорость потока и окружная скорость цилиндра складываются, а на нижней поверхности – вычитаются.

Из-за неравенства скоростей над и под цилиндром возникает разность давлений, порождающая подъемную силу.

Вследствие вязкости воздух увлекается вращающимся цилиндром и создает вокруг него вихрь.

Вихрем будем называть массу воздуха, вращаюуюся вокруг тела.

Вихрь вовлекает во вращение окружающие его массы воздуха и индуцирует (вызывает) скорости
в окружающей среде. Эти окружные скорости называются индуктивными.

Для определения действующих на цилиндр аэродинамических сил его можно заменить вихрем, дающим то же поле скоростей, что и цилиндр.

Замена вращающегося цилиндра вихрем, который Н.Е.Жуковский назвал присоединенным, и позволила Н.Е. Жуковскому создать вихревую теорию крыла. Согласно этой теории подъемная сила крыла возникает вследствие наложения присоединенного вихря на основной поток.

Интенсивность воздействия вихря на окружающую среду, а значит, и величина подъемной силы, определяется циркуляцией скорости.

Рис. 2.10. К понятию «циркуляция скорости»

Для понимания сущности циркуляции скорости проведем в установившемся потоке произвольный контур ОD (рис. 2.10). Выделим элемент этого контура, который ввиду его малости можно принять за торезок прямой. Обозначим скорость потока в точке С, находящейся на этом элементе, через Vc, а проекцию этой скорости на элемент контура через V_s. Произведение длины элемента контура на проекцию скорости на контур V_s называется элементарной циркуляцией скорости.

Циркуляция скорости по контуру ОD будет равна сумме элементарных циркуляций.

Г =

Вычислим циркуляцию скорости по замкнутому контуру в виде окружности радиусом r. Индуктивные скорости в каждой точке окружности, создаваемой вихрем, направлены по касательной к этой окружности и постоянны по величине. Поэтому

Г=

Чем больше циркуляция скорости, тем больше разность скоростей и давлений при наложении циркулярного потока на основной поток, т.е. тем больше подъемная сила.

Циркуляция скорости вокруг цилиндра возникает только при его вращении. Циркуляция вокруг крыла возникает самостоятельно, без помощи вращения.

В расчётной схеме Жуковского крылозаменялось вихрем, вокруг которого образуется циркуляция скорости.

При взаимодействии вихря с плоскопараллельным потоком скорости их суммируются. Над крылом скорость частиц увеличивается, под крылом – уменьшается (рис. 2.11).

Рис. 2.11. Создание подъемной силы

V =V + ; V = V - ,

где V – скорость над профилем крыла, a V – скорость под профилем крыла.

Из-за разности скоростей над крылом и под крылом возникает циркуляция скорости.

В соответствии с законом Бернулли разность скоростей приводит к появлению разности давлений над
и под крылом, т.е. к созданию подъемной силы.

Н. Е. Жуковский вывел формулу для определения величины подъемной силы.

Подъёмная сила единицы длины крыла бесконечного размаха равна произведению циркуляции скорости вокруг профиля крыла на плотность и скорость набегающего потока:

где Г – циркуляция скорости воздуха вокруг профиля крыла;

Y_l=1- подъёмная сила для единицы длины крыла.

Теорему Н.Е.Жуковского можно сформулировать так:

Подъемная сила единицы длины крыла бесконечного размаха равна произведению циркуляции скорости вокруг профиля крыла на плотность и скорость набегающего потока.

А для крыла с размахом подъемную силу можно определить по формуле:

.

Из формулы видно, что для увеличения подъемной силы крыла при данной скорости нужно увеличить циркуляцию скорости Г. Это достигается увеличением кривизны профиля, управлением пограничным слоем.

Циркуляция скорости Г пропорциональна хорде профиля крыла b и скорости потока и определяется по формуле:

Подставляем Г в формулу Y и получаем:

,

но так как lb = S, то

Таким образом, получили знакомую формулу подъемной силы.

Коэффициент подъемной силы С_Y определяет
зависимость подъемной силы от формы крыла и его положения в потоке.

График зависимости коэффициента подъемной силы C_Y от угла атаки α имеет следующий вид:

Рис. 2.12. График зависимости Су от угла атаки

Характерные точки графика:

– угол нулевой подъемной силы; это угол атаки, при котором коэффициент подъемной силы С_Y равен нулю.

– угол атаки, соответствующий началу срывного обтекания крыла. Он называется углом тряски, т.к. летчик начинает ощущать потряхивание органов управления при выходе на этот угол.

— критический угол атаки, соответствующий максимальному значению коэффициента С_Y , Он называется критическим, так как при случайном увеличении этого угла происходит отрыв пограничного слоя, самолет становится плохо управляемым, склонным к сваливанию на крыло и переходу в «штопор».

График зависимости C_Y ( ) можно разделить на три участка:

1) при малых углах атаки пограничный слой плотно прилегает к поверхности крыла и зависимость C_Y ( ) носит прямолинейный характер;

2) … — в этом диапазоне углов атаки в нижних слоях пограничного слоя образуются обратные течения, которые разрыхляют пограничный слой и пытаются оторвать его от поверхности крыла. На этом участке течение графика C_Y ( ) становится криволинейным.

3) α > — на этих углах атаки происходит отрыв пограничного слоя от поверхности крыла, подъёмная сила Y ,следовательно, и коэффициент подъемной силы С_Y резко падают.

Для симметричного профиля кривая C_Y
( ) проходит через начало координат.

Если угол наклона кривой C_Y ( ) относительно оси абсцисс обозначить через , то

где C_Y — производная коэффициента подъемной силы по углу атаки , характеризующая темп изменения коэффициента С_Ya с изменением угла атаки. Чем больше C_Y , тем чувствительнее крыло к изменению угла атаки, тем выше несущая способность крыла.