Закон Дарси и границы его применимости.

Основные понятия и модели пористых сред.

Пористую среду представляют, как множество твердых частиц, плотно прилегающих друг к другу, пространство между которыми может быть заполнено жидкостью или газом.

Под пористостью горной породы понимают наличие в ней пустот различной формы и происхождения. Количественно величина пористости определяется коэффициентом пористости m, определяемым для некоторого элемента пористой среды, как отношением объема пор в этом элементе к его общему объему (измеряется в долях или процентах):

(1.1)

Различают общую m_общ, открытую m_откр и динамическую (эффективную) m_эфф пористость:

; ; (1.2)

где: - объем всех пор; - объем сообщающихся пор; - часть объема открытых пор, через которые может фильтроваться жидкость.

Коэффициент открытой пористости можно определить методом взвешивания, при котором определяются: масса сухого образца М₁, масса образца, на 100 % насыщенного водой М₂ и масса образца, на 100% насыщенного водой во взвешенном состоянии в воде М₃. Тогда коэффициент открытой пористости равен:

(1.3)

Другой способ (газоволюметрический) определения открытой пористости основан на применении закона Бойля-Мариотта. Идеальный газ из калибровочного сосуда с известным объемом V₀ при известном давлении p₀ перетекает в поровое пространство сухого образца объемом V_обр, находящимся в непроницаемой манжете и обжатого со всех сторон «горным» давлением. При этом давление внутри замкнутой системы сосуд – образец устанавливается до значения р. Тогда объем пор определяется из соотношения:

(1.4)

где V_* - «мертвый» объем трубок соединяющих калибровочный сосуд с образцом, а коэффициент открытой пористости определяется из соотношения (1.2). Отметим, что в процессе всего эксперимента поддерживается постоянная температура.

Коэффициентом просветности n называется отношение площади просветов S_просв в данном сечении пористой среды ко всей площади этого сечения S:

(1.5)

Среднее по длине пласта значение просветности равно пористости.

Модель фиктивного грунта состоит из шариков одного диаметра уложенных определенным образом, рис. 1.

Основным элементом фиктивного грунта является ромбоэдр, который получается, если принять центры восьми соприкасающихся частиц за вершины углов.

Пористость m и просветность n ячейки Шлихтера изменяются по закону:

(1.6)

(1.7)

где q - угол, определяющий способ упаковки шариков одинакового размера (60⁰ < q < 90⁰)

Удельная поверхность – это суммарная площадь поверхности частиц, которые содержатся в единице объема пористой среды:

(1.8)

Для фиктивного грунта:

(1.9)

Эффективный диаметр частиц фиктивного грунта , при котором его гидравлическое сопротивление совпадает с гидравлическим сопротивлением реального грунта определяется в результате гранулометрического (механического) анализа.

Измельченный грунт просеивают через набор сит с различной площадью отверстий, разделяя и взвешивая фракции. Затем строят кривую механического состава, откладывая по оси абсцисс средние диаметры d_iфракций, а по оси ординат – сумму масс фракций в процентах от общей массы , рис.2.

За средний диаметр каждой фракции принимают среднее арифметическое крайних диаметров d’:

(1.10)

Эффективный диаметр определяют по гранулометрическому составу, н.п. по формуле веса средней частицы

(1.11)

где d_i - средний диаметр i -ой фракции; n_i - массовая или счетная доля i-ой фракции.

Эмпирические способы определения :

По Газену:

при (1.12)

По методу Крюгера - Цункера:

(1.13)

Капиллярная модель пористой среды (идеальный грунт) – система прямых трубок малого диаметра одинакового сечения длиной .

Для капиллярной модели имеется связь радиуса трубок (пор) с диаметром частиц фиктивного грунта:

(1.14)

Скоростью фильтрации v называется отношение объемного расхода жидкости Q к площади поперечного сечения F, нормального к направлению движения жидкости.

(1.15)

Скорость фильтрации v и истинная (средняя) скорость движения жидкости связаны соотношением:

(1.16)

Закон Дарси и границы его применимости.

Закон Дарси устанавливает, что объемный расход несжимаемой жидкости Q через трубку с пористой средой прямо пропорционален потере напора и площади фильтрации S и обратно пропорционально длине трубки L, рис.3:

(2.1)

где: С - коэффициент фильтрации, характеризующий скорость потока через единицу площади сечения, перпендикулярного к потоку, под действием единичного градиента давления.

H - напор в любом сечении определяется как:

(2.2)

где: z - высота положения, - пьезометрическая высота, p – гидростатическое давление, r - плотность жидкости, g – ускорение свободного падения, - скоростной напор,

В силу малости скорости фильтрации (ее порядок » 10^-5 - 10^-6 м/с) скоростным напором в формуле (2.2) можно пренебречь.

Поскольку коэффициент фильтрации С характеризует, как свойства породы, так и свойства воды, то при решении задач о течении других жидкостей и газов в пористой среде удобнее пользоваться понятием проницаемости в законе Дарси:

(2.3)

где: k – абсолютная проницаемость пористой среды, характеризующая способность горной породы пропускать сквозь себя жидкость или газ, m - динамическая вязкость, а - приведенное давление.

S

Рис. 3. Схема опыта Дарси.

При условии равенства высот положения z₁ = z₂ закон Дарси примет вид:

(2.4)

Закон Дарси в дифференциальной форме:

(2.5)

Коэффициенты фильтрации и проницаемости связаны соотношением:

(2.6)

При больших скоростях фильтрации закон Дарси нарушается вследствие того, что силы инерции, возникающие в жидкости, становятся соизмеримыми с силами трения. Скорость фильтрации (или дебит) при которой(м) происходит такое нарушение закона Дарси называется критической скоростью фильтрации v_кр (критическим дебитом Q_кр).

Критерием выполнимости закона Дарси служит число Рейнольдса Re, которое, как и в трубной гидравлике, характеризует отношение сил инерции к силам вязкости:

(2.7)

где a – характерный размер задачи.

В таблице 1 представлены выражения для определения чисел Рейнольдса, выведенных разными авторами, а также диапазоны критических чисел Рейнольдса Re_кр (при которых происходит нарушение линейного закона Дарси).

Таблица 1. Формулы разных авторов для чисел Рейнольдса.

Автор	Число Рейнольдса	Диапазон критических чисел
Н.Н. Павловский		7,5≤ Reкр ≤9
В.Н. Щелкачев		1≤ Reкр ≤12
М.Д. Миллионщиков		0.022≤ Reкр ≤0.29

Если в задаче необходимо определить нарушается ли закон Дарси при заданных параметрах, то полученное в ходе решения число Рейнольдса Re сравнивают с нижним значением Re_кр. Если Re < Re_кр, то закон Дарси выполняется, а если Re ≥ Re_кр, то закон Дарси нарушается. При решении обратной задачи, где нужно определить критическую скорость фильтрации или критический дебит при превышении которых нарушается закон Дарси, выбирают одну из формул, указанных в таблице 1, и определенное значение Re_кр, при котором v=v_кр.

При нарушении закона Дарси при больших скоростях фильтрации используют степенные законы:

Формула Форшгеймера (двучленный закон фильтрации):

(2.8)

в диф. форме. (2.9)

где b - дополнительная константа пористой среды, определяемая из эксперимента.

Одночленный степенной закон:

(2.10)

- в диф. форме. (2.11)

где С и n постоянные определяемые опытным путем, причем 1≤n≤2.

При n = 2 выражение (2.10) и (2.11) носит название формулы А.А.Краснопольского.

Отклонения от линейного закона Дарси наблюдаются и при малых скоростях фильтрации. Это связано с проявлением неньютоновских свойств фильтрующихся жидкостей, а также других физико-химических эффектов (учет сил межфазного и межмолекулярного взаимодействия).

Для вязкопластичных жидкостей (обладающих, как свойствами жидкости, так и свойствами твёрдого тела) часто используют закон фильтрации с предельным градиентом:

, (2.12)

,

В дифференциальной форме:

(2.13)

Из (2.12) следует, что при градиентах меньших предельного g жидкость неподвижна, а при превышении g течет по линейному закону.

Величина g зависит от предельного напряжения сдвига t₀ и среднего диаметра пор:

, где a - безразмерная константа.

Аналогом закона Дарси можно считать закон Пуазейля, если пористую среду представить в виде системы трубок одинакового сечения:

или (2.14)

где N - число трубок одинакового сечения, а r - радиус поровых каналов (или средний радиус пор среды).

Если учесть, что пористость такой среды равна:

, (2.15)

где - число каналов на единицу площади поперечного сечения.

Тогда формулу Пуазейля можно представить в виде:

или (2.16)