Основное уравнение теории надежности

Для неремонтируемых элементов (деталь, сборочная единица) и ре­монтируемых машин рассматривают отказы предельного состояния, которые выводят машины из эксплуатации. Предельное состояние ка­ждой детали, сборочной единицы, машины наступает через наработку t, величину которой принимают случайной из-за сложности или невоз­можности определения ее в аналитическом виде. Причины случайно­сти события «отказ» объясняются множеством факторов, учет которых в аналитической форме невозможен. Рассеяние ресурсов по критерию усталости (оцениваемое отношением наибольшего ресурса к наи­меньшему) для подшипников достигает 40, для зубчатых передач 10…15 Такое же рассеяние ресурсов по износу. Существенное рас­сеяние по величине и направлению имеют действующие нагрузки, механические характеристики материалов деталей, зазоры и натяги, которые при изготовлении получаются как разности сопрягаемых раз ­меров. Поэтому в расчетах надежности многие параметры должны рассматриваться случайными величинами, которые могут принять то или иное значение, неизвестное заранее.

Для решения задач определения режима обслуживания и ремонта технических средств, расчета необходимого количества запасных де­талей и агрегатов требуется знание средней наработки и характери­стики группировки частных ресурсов около среднего. Обычно эта ин­формация представляется в виде закона распределения t наработок на предельное состояние (кратко - распределение отказов).

Закон распределения случайной величины t определяется плотно­стью вероятности появления отказов f(t), функцией вероятности отка­зов F(t), функцией вероятности отсутствия отказа P(t) или интенсивно­стью отказов λ(t). Каждая из перечисленных зависимостей однозначно определяет закон распределения.

На практике закон распределения случайной величины t получают экспериментально в процессе специальных опытов или путем сбора статистической информации при подконтрольной эксплуатации ма­шин. На базе этой информации строят графики вышеупомянутых функций (рис.26) и определяют их математическую модель.

Рассмотрим процесс формирования математических моделей за­конов распределения отказов. Для этого примем следующие обозна­чения:

N - общее количество технических средств, введенных в эксплуа­тацию на срок работы t;

N_t - количество технических средств, сохранивших работоспособ­ное состояние по истечении времени t;

n - количество технических средств, не сохранивших работоспособное состояние по истечении времени t.

Рис.26. Законы распределения случайных величин

В таком случае относительное количество отказов, т.е. неработо­способных технических средств, к моменту t, или, что равно, вероят­ность отказов определится выражением

Так как безотказная работа и отказ - взаимно противоположные события, то сумма их вероятностей равна 1:

Вероятность безотказной работы оценивается относительным ко­личеством работоспособных технических средств

Распределение отказов во времени характеризуется функцией плотности распределения f(t) наработки до отказа. В статистической трактовке

где Δn и ΔF(t) - приращение числа отказавших технических средств и соответственно вероятности отказов за время Δt.

В вероятностной трактовке

Вероятность отказов и безотказной работы в функции плотности f(t) выражаются зависимостями

при t=∞

Интенсивность отказов λ(t), в отличие от плотности распределе­ния, относится к числу технических средств N_t, оставшихся работоспо­собными, а не к общему числу технических средств.

Или в вероятностной трактовке, учитывая, что

Выразим плотность распределения отказов через вероятность безотказной работы

Подставим это выражение в формулу определения интенсивности отказов

Разделив переменные и решив интеграл, получим одно из основ­ных уравнений теории надежности