Закон Ома для последовательно соединенных RLC цепей

,

, , .

Дано:

.

, то есть требуется найти закон изменения тока. Это неоднородное дифференциальное уравнение. Если в правой части стоит 0, то однородное дифференциальное уравнение описывает замкнутую накоротко цепь. При этом энергия на конденсаторе и катушке быстро расходится через сопротивление .

Полное решение этого уравнения складывается из частного решения неоднородного уравнения и общего решения однородного. Будем искать частное решение неоднородного уравнения в виде (1), где подлежат определению.

Продифференцируем уравнение (1) по и запишем в виде:

. (2)

Найдём и :

; .

Подставим эти уравнения в (1):

.

Имеем синус и косинус разности:

.

Для любого момента времени сумма коэффициентов и , тогда имеем систему:

где в первом уравнении - коэффициенты при , во втором - . Решая данную систему, получаем:

(1), (2).

Анализируя данное решение видно, что ток зависит от частоты.

Зависимость тока от частоты.

1) .

- частота, при которой наступает резонанс (в данном случае ток максимален).

, .

Пусть . Тогда из (1) получаем - в этом случае знаменатель минимален и ток максимален.

Рассмотрим два крайних случая.

2) (малые частоты) т. е. с уменьшением частоты цепь начинает носить более ёмкостной характер (цепь ведёт себя как ёмкость). ‡ .

3) То есть, ‡ (цепь ведёт себя как индуктивность).

Угол сдвига фаз.

1) .

2) .

3) .

Построим векторную диаграмму:

При построении мы использовали соотношение . Ток отстаёт от напряжения на индуктивности на за счёт электромагнитной индукции. На конденсаторе напряжение отстаёт от тока на .

Резонанс напряжений.

В случае резонанса . Ток одинаков, следовательно , то есть . При этом угол равен 0. Векторная диаграмма для этого случая изображена слева.

На резонансе цепь ведёт себя, как на активном сопротивлении. Ток имеет максимальное значение:

,

и меняются в противофазе.

Напряжения на емкости и индуктивности на резонансной частоте не достигают своих максимальных значений.

Найдем частоты, при которых напряжения на емкости и индуктивности достигают своих максимальных значений.

.

Напряжение будет максимально, когда будет минимально выражение под корнем. Следовательно:

,

, то есть .

Следовательно, напряжение на конденсаторе достигает максимума при частоте, меньшей частоты резонанса.

Аналогично для катушки:

, .

Следовательно, напряжение на индуктивности достигает максимума при частоте, большей частоты резонанса.