Определение грузоподъемности внецентренно сжатых жестких стержней несимметричных сечений (задачи № 30, 31)

Условие задачи

Стержень несимметричного сечения сжимается силой, приложенной в точке А (рис. 5.23). Поперечное сечение имеет форму и размеры, показанные на рис. 5.19. Материал стержня – хрупкий. Требуется:

1) найти допускаемую нагрузку, удовлетворяющую условию прочности;

2) построить ядро сечения.

Решение

Прежде всего надо определить моменты и радиусы инерции поперечного сечения относительно главных центральных осей. Эта часть решения задачи приведена в примере 2 п. 5.2.1. На рис. 5.23 показаны главные центральные оси инерции сечения , , положение которых найдено ранее. В системе центральных осей , (рис. 5.24) координаты точки приложения силы А , . Вычислим координаты точки А в системе главных центральных осей по формулам (5.19).

Рис. 5.23. Стержень, сжатый силой F

Найденные координаты рекомендуем проверить, измерив эти координаты на рисунке сечения, выполненном в большом масштабе[9].

Для определения положения опасных точек построим нейтральную линию, используя формулы (5.12). Радиусы инерции , найдены ранее.

Отложим эти отрезки вдоль главных осей и проведем через полученные точки нейтральную линию (см. рис. 5.24) . Опасными точками, т. е. точками, наиболее удаленными от нейтральной оси, будут точки 1 и 3 (см. рис. 5.24). В точке 1 действует наибольшее растягивающее напряжение. Запишем условие прочности в этой точке, используя формулу (5.9):

Подставим в условие прочности координаты опасной точки 1 в главных осях, вычислив их по формулам (5.19) или измерив на рисунке, выполненном в масштабе, Тогда из условия прочности в точке 1 можно найти допускаемое значение нагрузки:

.

Для найденного значения допускаемой нагрузки необходимо убедиться, что условие прочности выполняется и в точке 3, которая дальше удалена от нейтральной линии и в которой действует сжимающее напряжение. Для определения напряжения в точке 3 подставим в формулу (5.9) координаты этой точки

Это напряжение не должно превосходить . Если условие прочности в точке с максимальными сжимающими напряжениями выполняться не будет, надо найти значение допускаемой нагрузки заново из условия прочности в этой точке.

В заключение построим ядро сечения. Поместим полюсы во внешние угловые точки сечения, т. е. в точки 1, 2, 3, 4, 5 (см. рис. 5.24). Поясним, как получена точка 4, находящаяся на контуре квадранта круга. Отсекая внутреннюю угловую точку , проводим линию, касательную к контуру сечения (пунктир на рис. 5.24). Точка 4 является точкой касания этой линией квадранта круга. Последовательно находим положение нейтральных линий, соответствующих полюсам в указанных точках, находя отрезки, отсекаемые нейтральными линиями на осях , , по формулам (5.12). Например, если полюс находится в точке 1, то, подставляя в (5.12) координаты точки 1 ( ), найдем

Рис. 5.24. Эпюра напряжений от силы F и ядро сечения

.

Поскольку существенно больше , то это значит, что нейтральная линия 1–1 практически параллельна оси . Отрезок откладываем в масштабе вдоль оси и проводим прямую 1–1, параллельную оси (см. рис. 5.24). Аналогично строим нейтральные линии, соответствующие полюсам, расположенным в других точках. Ядро сечения (заштрихованная область) показано на рис. 5.24. Отметим, что контур ядра сечения между нейтральными линиями 4–4 и 5–5 очерчен по кривой, так как переход полюса из точки 4 в точку 5 происходит не по прямой линии. На рис. 5.24 показан также эллипс инерции сечения, построенный ранее.