Исследование плоского напряженного состояния по заданным напряжениям на произвольных площадках

Условие задачи. Элемент, выделенный из тела, находится в плоском напряженном состоянии (рис. 2.3). По граням элемента заданы нормальные и касательные напряжения, значения которых приведены на рисунке.

Материал элемента – сталь с такими характеристиками: предел текучести МПа; модуль Юнга МПа; коэффициент Пуассона ; модуль сдвига МПа; нормируемый коэффициент запаса прочности .

Требуется:

1) найти нормальное, касательное и полное напряжения на наклонной площадке, заданной углом 105° (см. рис. 2.3);

2) определить величины главных напряжений и положение главных площадок;

3) найти наибольшее касательное напряжение и положение площадки, по которой оно действует;

4) оценить прочность материала в точке и показать вероятное направление плоскости сдвига или отрыва (опасной площадки);

5) найти линейные и угловые деформации в системе координат и линейные деформации вдоль главных направлений; вычислить относительную объемную деформацию.

Примечание. Пп. 1–3 следует выполнить двумя способами: аналитическим и графическим.

Решение

Рис. 2.4. Уточнение условия задачи

Изобразим элемент в виде плоского рисунка (рис. 2.4), на котором укажем систему координат. Покажем наклонную площадку и внешнюю нормаль к ней, отметив штриховкой внутреннюю сторону площадки. Система координат позволяет обозначить напряжения: МПа, МПа, МПа.

Аналитический способ исследования напряженного состояния

Определение напряжений на наклонной площадке. Напряжения на наклонной площадке (рис. 2.4), находим по формулам (2.2а) и (2.2б). В этих формулах положение площадки задает угол между осью и нормалью к площадке. Направление отсчета выбираем произвольно, учитывая, что значение угла зависит от выбранного направления. (Угол нельзя путать с углом , указанным на рис. 2.3.)

Можно отсчитывать угол не от оси , а от оси z, тогда в формулах (2.2а) и (2.2б) напряжения , надо поменять местами, а напряжение заменить напряжением . Решая задачу, надо выбирать более удобный способ отсчета угла .

Используем угол между и осью , отсчитывая его от оси к нормали : . Значение угла положительно, так как угол отсчитывается против часовой стрелки. Согласно (2.2а) и (2.2б)

Нормальное напряжение отрицательно, значит, оно направлено к площадке (сжимающее). Касательное напряжение положительно, значит, оно обходит площадку по часовой стрелке.

Выполним то же самое вычисление по-другому. Используем угол между нормалью и осью , отсчитывая его от z к : . Формулы (2.2а) и (2.2б) записываем в измененном виде:

Рис. 2.5. Напряжения на наклонной площадке

Модуль вектора напряжения (или просто полное напряжение)

Вычисленные напряжения показаны на рис. 2.5.

Определение главных напряжений и главных направлений. Согласно (2.5) главные напряжения

После вычисления главные напряжения нумеруем согласно убыванию. Чтобы не путать напряжения до и после нумерации, специально используем разные обозначения. Пронумерованные главные напряжения таковы:

, , .

Найдем положение главных площадок. Сказанное о способах вычисления напряжений относится и к способам вычисления положения площадок. Здесь вычисляем углы , , задающие главные площадки, одним способом, отсчитывать эти углы от оси против часовой стрелки. Углы являются решениями уравнения (2.7):

,

то есть

Рис. 2.7. Площадка с максимальным касательным напряжением

Рис. 2.6. Положение главных площадок

Получены два значения угла, которые отвечают площадкам с напряжениями , (рис. 2.6). Выясним, какому из этих напряжений соответствует угол . Для этого определим по формуле (2.8) знак второй производной при :

.

Знак отрицательный, следовательно, по этой площадке действует бóльшее из найденных главных напряжений – напряжение . Теперь можно в соответствии с нумерацией главных напряжений пронумеровать и углы: , .

Определение максимального касательного напряжения. Касательное напряжение, максимальное среди касательных напряжений на площадках, перпендикулярных плоскости (рис. 2.7), определяется формулой (2.10):

МПа.

В рассматриваемом примере главные напряжения , , поэтому касательное напряжение является максимальным среди касательных напряжений для всей совокупности площадок, проходящих через заданную точку: . Нормальное напряжение на той же площадке дается формулой (2.11):

МПа.

Графический способ исследования напряженного состояния

Способ состоит в построении круга напряжений Мора, позволяет проверить аналитическое решение.

Круг Мора является средством вычисления, поэтому его необходимо строить в крупном масштабе на миллиметровке, используя заточенный карандаш. Чем точнее выполнены построения, тем точнее будет получен результат.

Строим круг напряжений (рис. 2.8). Изображаем систему координат , используя одинаковый масштаб по вертикальной и горизонтальной осям. Отмечаем на координатной плоскости две точки X, , соответствующие площадкам с нормалями . Координатами точек , являются нормальные и касательные напряжения на этих площадках. Соединяем точки отрезком, который представляет собой диаметр круга. Точка О пересечения диаметра с осью – центр круга. Проводим окружность.

Точкам I, III пересечения круга с горизонтальной осью соответствуют главные площадки 1, 3. Горизонтальные координаты этих точек (измеренные в масштабе) дают главные напряжения: МПа, МПа.

Отмеченные на рисунке углы дают удвоенные значения углов , , которые определяют положения главных площадок. Из рисунка видна связь главных напряжений , и углов , . Графически найденные значения: , .

Площадке, по которой действует максимальное касательное напряжение, соответствует точка круга. Координаты точки дают значения МПа, МПа.

Рис. 2.8. Круг Мора, изображающий заданное плоское напряженное состояние

Найдем напряжения на наклонной площадке. Отметим на круге точку , соответствующую этой площадке, отложив от радиуса OX (соответствующего оси x) против часовой стрелки угол , либо от радиуса ОZ (соответствующего оси z) в том же направлении угол 2×15°. Координаты точки дают напряжения на наклонной площадке: , .

Графическим изображением пространственного напряженного состояния служат три круга напряжений. Точки каждого круга изображают площадки, которые перпендикулярны одной из главных площадок. Точки затемненной области изображают всевозможные наклонные площадки. Изображение напряженного состояния в виде трех кругов Мора используется в качестве иллюстрации, а не в качестве способа вычисления, поэтому в расчетной работе данный рисунок можно выполнить в меньшем масштабе и не обязательно на миллиметровке. Круги напряжений для рассматриваемого напряженного состояния показаны на рис. 2.9. Круг напряжений на рис. 2.8 соответствует площадкам, перпендикулярным плоскости чертежа (перпендикулярным второй главной площадке). Из рис. 2.9 видно, что максимальное касательное напряжение определяется по бóльшему кругу.

Проверка прочности. Главные напряжения , , вычислены выше.

Рис. 2.9. Круги Мора, изображающие объемное напряженное состояние

Начать решение нужно с выбора соответствующей материалу теории прочности. Материал задачи – сталь (пластичный материал), поэтому используем третью и четвертую теории прочности.

Согласно третьей теории прочности эквивалентное напряжение

.

Сравнение с пределом текучести показывает, что материал работает упруго, то есть

,

но условие прочности не выполнено:

.

Это означает, что не обеспечен нормативный коэффициент запаса прочности. Конструкцию, имеющую точку с такими напряжениями, эксплуатировать запрещается. Действительный (фактический) коэффициент запаса

меньше нормативного .

Согласно четвертой теории прочности

МПа.

Условие прочности не выполнено и согласно четвертой теории. Однако фактический коэффициент запаса оказывается другим:

.

Положения опасных площадок согласно третьей и четвертой теориям приведены на рис. 2.10, 2.11. По площадке рис. 2.10, выделенной жирным контуром, действует максимальное касательное напряжение. Эта площадка перпендикулярна к площадке 2 и наклонена под углом в 45° к площадкам 1 и 3. Выделенная площадка рис. 2.11 соответствует четвертой теории прочности. Она равно наклонена ко всем трем главным площадкам.

Рис. 2.10. Опасная площадка по третьей теории прочности

Рис. 2.11. Опасная площадка по четвертой теории прочности

Специально обратим внимание на способ изображения опасных площадок: эти площадки показаны с привязкой к исходному элементу. Так необходимо сделать и при оформлении задачи.

Поскольку привязка исходного элемента к конструкции, из которой он вырезан, известна, примененный способ изображения площадок равносилен указанию опасных площадок непосредственно на конструкции.

Определение деформаций в точке. Деформации являются упругими и можно применять обобщенный закон Гука, так как вычисленные выше эквивалентные напряжения меньше предела текучести: .

Когда превышает , закон Гука определяет упругую (обратимую) часть полной деформации. В таком случае в задаче нужно вычислить лишь эту составляющую, отметив примечанием в тексте.

Линейные деформации в направлении осей таковы:

,

,

.

Угловая деформация:

Знак минус говорит об уменьшении угла . Отсутствие касательных напряжений означает отсутствие соответствующих угловых деформаций: .

Линейные деформации вдоль главных направлений 1, 2, 3:

Относительная объемная деформация:

Рис. 2.13. Деформации элемента по главным направлениям 1, 3

Рис. 2.12. Деформация элемента по направлениям х, z

.

Рис. 2.12, 2.13 иллюстрируют результаты вычислений. На этих рисунках , и , – размеры ребер элементов с гранями, перпендикулярными до деформации тела исходным и главным осям соответственно. В результате деформации элементы перемещаются как жесткое целое и деформируются. На рисунках жирной и пунктирной линиями изображены элементы после и до деформации соответственно. Перемещение элементов как жесткого целого не изображено.

Примечание. Рисунки, показывающие деформации элемента, выполняются в масштабе. Так как абсолютные деформации существенно меньше, чем длины граней, то для наглядности рисунков масштабы длин и удлинений выбираются разными.