Метод перемещений в расчетах статически неопределимых систем

Общие сведения о методе перемещений

СТЕПЕНЬ КИНЕМАТИЧЕСКОЙ НЕОПРЕДЕЛИМОСТИ

Под степенью кинематической неопределимости принято понимать число основных неизвестных метода перемещений — углов поворота и линейных перемещений жестких узлов системы. Это число зависит от допущений, принятых в методе:

1) концы стержней, сходящихся в одном жестком узле, т. е. связанные между собой припайками, поворачиваются на один и тот же угол;

2) не учитывается влияние N и Q на перемещения узлов;

3) расстояния между узлами при деформации изгиба прямых стержней не изменяются;

4) углы поворота по малости принимаются равными их тангенсам.

Число угловых перемещений узлов определяется числом жестких узлов, которые независимо могут поворачиваться. При этом за жесткий узел принимается всякий узел, в котором не менее двух стержней соединены между собой припайкой.

Число независимых поступательных перемещений узлов не равно числу узлов, которые могут поступательно перемещаться, так как на ос­новании второго и третьего допущений не все поступательные перемеще­ния могут быть независимы. Поступательные перемещения узлов рамы зависимы, и все они будут перемещаться по горизонтали на одинаковую величину. Поскольку расстояния между узлами, соединенными стержнем, при деформации не изменяются, то число независимых поступательных перемещений узлов заданной систе­мы, составленной из прямых стержней, равно числу независимых пере­мещений узлов преобразованной системы, получаемой из заданной вве­дением шарниров во все узлы, в том числе и опорные, считая все стержни преобразованной системы абсолютно жесткими. При этом все статически определимые консоли, если они есть в системе, должны быть предварительно отсечены.

За неизвестные поступательные перемещения принимаются независимые поступательные перемещения, число которых равно числу дополнительных связей, обращающих шарнирную схему в неизменяемую систему. Общее число угловых и независимых поступательных перемещений равно числу основных неизвестных метода перемещений или степени кинематической неопределимости. На рис. 1 показаны числа независимых перемещений узлов системы; пунктиром показаны связи, которые обращают шарнирную схему в неизменяемую систему.

Рис. 1

Как и метод сил, метод перемещений является одним из важней­ших методов расчета статически неопределимых систем. В качестве основных неизвестных в этом методе принимают упругие перемещения узлов системы: углы поворота узлов и их линейные перемещения (рис. 2, а).

Рис. 2

Общее число неизвестных метода перемещений n, называемое степенью кинематической неопределимости системы, определяют как сумму неизвестных углов поворота n_у и не­известных линейных перемещений узлов n_л:

n = n_у + n_л.

Число неизвестных углов поворота равно числу «жестких» узлов, вследствие чего определение n_у сводится к простому подсчету числа «жестких» узлов рамы (например, узлы 2, 3 на рис. 2, а).

Для определения числа линейных перемещений узлов п_л вводится предположение о том, что длины хорд упругих линий прямых стержней рамы после их деформации остаются равными первоначальным длинам этих стержней, т. е. не учитывается сближение концов прямого стержня при его изгибе и действии продольной силы. В результате этого число независимых линейных смещений узлов заданной системы будет равно степени свободы шарнирной схемы, полученной из заданной системы введением шарниров во все узлы, включая и опорные.

Таким образом, для рамы, представленной на рис. 1, а, число независимых линейных перемещений узлов будет равно:

п_л = 2У — С — С₀ = 12 — 5 — 6 = 1, а общее число неизвестных при n_у = 2 составит

п = 2+1=3.

В том случае, если заданная система содержит кроме прямых и криволинейные стержни (рис. 3), необходимо учитывать воз­можное сближение концов криволинейных стержней после их деформации. При этом формула, определяющая число независимых линей­ных смещений узлов системы, получит следующий вид:

n_л = а + 2У – С – С₀,

где а — число криволинейных стержней.

Например, для рамы, изображенной на рис. 2, будем иметь:

n_л = 1 +12 —5 —6 = 2 и n = 3 + 2 = 5.