Матричная форма метода перемещений

Рассмотрим раму, которая n раз кинематически неопределима. Запишем для этой рамы канонические уравнения метода перемещений:

r₁₁Z₁ + r₁₂Z₂ +... + r_lnZ_n + R_lP = 0,

r₂₁Z₁ + r₂₂Z₂ +... + r_2nZ_n + R_2P = 0,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

r_n1Z₁ + r_n2Z₂ +... + r_nnZ_n + R_nP = 0

Запишем эту систему уравнений в виде одного матричного уравнения:

r₁₁ r₁₂ … r_ln Z₁ R₁

r₂₁ r₂₂ … r_2n × Z₂ + R₂ = 0

. . . . . . . . . . . . . . . . ... ……

r_nn r_n1 …. r_n2 Z_n R_n

Введем обозначения:

r₁₁ r₁₂ … r_ln

А_r = r₂₁ r₂₂ … r_2n – матрица коэффициентов

. . . . . . . . . . . . . . . . канонических уравнений

r_nn r_n1 …. r_n2

Свойства матрицы А_r :

1. Это – квадратная симметричная матрица, порядок которой равен степени кинематической неопределимости рассматриваемой рамы.

r_ij = r_ji.

2. Все элементы, стоящие на главной диагонале, существенно положительны.

r_ii 0.

Z₁

= Z₂ – вектор неизвестных перемещений жестких узлов рамы

...

Z_n

R₁

_P = R₂ – вектор свободных членов канонических уравнений

……

R_n

Элементами вектора _P являются реакции дополнительных связей от внешней нагрузки.

(*) А_r × + _P = 0 – система канонических уравнений в матричной форме.

Умножим матричные равенства (*) на обратную матрицу А_r^-1:

А_r^-1× А_r × + А_r^-1× _P = 0,

где А_r^-1× А_r = Е – единичная матрица

Е× =

= – А_r^-1× _P

Матрицу А_r можно определить по формуле, аналогичной соответствующей формуле метода сил:

А_r = L_Z^T BL_Z,

где L_Z – матрица изгибающих моментов в основной системе от единичных перемещений дополнительных связей;

L_Z^T – транспонированная матрица;

В – матрица податливости.

= – (L_Z^T BL_Z)^–1× _P

Изгибающий момент в заданной системе:

= _р + L_Z×,

где – вектор изгибающих моментов в заданной системе;

_р – вектор изгибающих моментов в основной системе от заданной (внешней) нагрузки.

= _р – L_Z (L_Z^T BL_Z)^–1× _P – эта формула используется при расчете рам методом перемещений с помощью ЭВМ.