Критерий устойчивости Найквиста

Критерий был разработан для исследования устойчивости электронных усилителей, а затем был обобщен и на САУ.

Этот критерий основан на рассмотрении АФХ разомкнутой системы, по виду которой судят об устойчивости замкнутой системы. АФХ может быть как теоретической, так и экспериментальной.

Пусть дана следующая система:

Замечание: Если исследуется система с неединичной обратной связью, то следует учитывать коэффициент передачи ОС.

Обозначим

Устойчивость замкнутой системы определяется характеристическим уравнением:

Уравнение, аналогичное годографу Михайлова для замкнутой системы имеет вид:

Критическая точка сместилась в точку с координатами (-1;j0).

Обозначим:

Применим принцип аргумента:

Чтобы замкнутая система была устойчива необходимо, чтобы все корни полинома имели отрицательную вещественную часть, но тогда

Пусть разомкнутая система неустойчива и имеет r корней с положительной вещественной частью (всего корней n), тогда

Найдем суммарное :

Полученный результат требует, чтобы для устойчивости замкнутой системы вектор совершил r/2 оборотов в положительном направлении вокруг точки

(-1;j0), где r – число положительных корней характеристического уравнения разомкнутой системы.

Вектор будет вращаться, если функция будет охватывать точку

(-1;j0).

Формулировка критерия Найквиста:

Замкнутая САУ будет устойчива, если АФХ разомкнутой системы охватывает точку (-1;j0) r/2 раз, где r – число корней характеристического уравнения разомкнутой системы с положительной вещественной частью.

Если разомкнутая система устойчива r=0 , то формулировка упрощается:

Замкнутая САУ будет устойчива, если АФХ разомкнутой системы не охватывает точку (-1;j0).

1 – АФХ не охватывает точку (-1;j0), замкнутая система устойчива;

2 - АФХ проходит через точку(-1;j0), замкнутая система не границе устойчивости;

3 - АФХ охватывает точку (-1;j0), замкнутая система неустойчива;

Система условно устойчива (она может стать неустойчивой как при увеличении коэффициента устойчивости, так и при его уменьшении).

Формулировка критерия Найквиста для АЧХ:

Замкнутая САУ будет устойчива, если АЧХ А(w) станет меньше 1 раньше, чем ФЧХ j(w) станет меньше -p.