Критерии устойчивости

Критерии – это признаки, по которым можно судить об устойчивости системы без решения дифференциального уравнения динамики системы и без вычисления корней.

Все критерии делятся на алгебраические, которые основаны на анализе коэффициентов характеристического уравнения, и частотные, которые основаны на анализе частотных характеристик системы.

1. Алгебраические критерии устойчивости.

Критерий Стодолы (простейший алгебраический критерий).

Простейшим необходимым, но недостаточным критерием устойчивости является требование того, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения имели одинаковый знак.

Докажем это. Пусть имеем устойчивую систему с характеристическим уравнением:

(1)

В устойчивой системе все корни имеют отрицательную вещественную часть:

где a и b - неотрицательные числа.

Запишем выражение (1) через корни:

Подставим значения корней:

Раскроем скобки и приведем к виду выражения (1). Перемножая или складывая положительные числа нельзя получить отрицательные, то есть все коэффициенты будут положительные или все отрицательные (в зависимости от а_n).

Для систем 1-го и 2-го порядков критерий является необходимым и достаточным. Для систем более высокого порядка этот критерий является необходимым, но не достаточным. Если хоты бы один коэффициент характеристического уравнения имеет знак отличный от знаков других коэффициентов, то можно сразу сказать, что система неустойчива и никаких дополнительных исследований не потребуется проводить.

Но положительность всех коэффициентов не гарантирует устойчивости. При некотором соотношении корней с положительной вещественной частью можно тоже получить все коэффициенты одного знака. Здесь требуются дополнительные исследования. Были разработаны другие алгебраические критерии, которые являются как необходимыми, так и достаточными. Наибольшее распространение получили критерий Рауса(E.I. Routh 1877г.) и критерий Гурвица (A.Hurwitz 1895г.).

Оба критерия основаны на построении определителей из коэффициентов характеристического уравнения. В результате они приводят к одной и той же системе неравенств.

Критерий Гурвица

Определитель Гурвица составляется по следующему правилу: главная диагональ определителя размером n x n последовательно заполняется коэффициентами характеристического уравнения, начиная с коэффициента при (n-1) производной до свободного члена. Столбцы вверх от главной диагонали дополняют последовательно коэффициентами с возрастающими индексами, а столбцы вниз – коэффициентами с убывающими индексами. Места, которые должны быть заняты коэффициентами с индексом выше а_n и ниже а₀, заполняют нулями.

Формулировка:

Для того, чтобы характеристическое уравнение системы имело все корни с отрицательной вещественной частью необходимо, чтобы главный определитель Гурвица и все его диагональные миноры D_n-1, D_n-1, …, D₂, D₁ имели один знак с коэффициентом при старшей производной.

Пример:

1. Система 1-го порядка.

- критерий Гурвица выражается в систему двух неравенств

2. Система 2-го порядка.

3. Система 3-го порядка.

Достоинства критерия:

1. Сравнительная простота.

Недостатки:

1. Громоздкость вычислений при n>4.

2. Алгебраические критерии дают ответ на вопрос, устойчива система или нет, но ничего не говорят о том, что надо сделать, чтобы система стала устойчивой.

С инженерной точки зрения более применим частотный критерий устойчивости.