ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ СТРУЙЧАТОЙ МОДЕЛИ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ

ЗАДАЧИ КИНЕМАТИКИ И ДИНАМИКИ

Жидкая среда состоит из множества ее частиц, не связанных между собой, и при ее движении частицы перемещаются в пространстве независимо друг от друга. Жидкая среда является сплошной средой, в которой отсутствуют пустоты и разрывы. Скорость в определенной точке области, занятой жидкостью, а также плотность и давление являются функцией координат этой точки и времени.

Кинематика изучает характеристики движений жидкости и газов. Задачей кинематики является определение скоростей и ускорений в любой точке пространства жидкой среды и распределение скоростей. Для упрощения исследования движения жидкость полагают идеальной и однородной. В этом случае не учитываются силы, обусловленные вязкостью.

Динамика жидкости изучает законы движения в результате действия на нее поверхностных, массовых сил с учетом вязкости.

Основными задачами в динамике являются рассмотрение движения жидкости в трубах, открытых руслах и в гидросооружениях, а также задачи, связанные с обтеканием жидкостью твердых тел и движением тела в жидкости.

При исследовании движения реальной жидкости необходимо рассматривать возникновение и влияние касательных напряжений, т.е. сил сопротивления движению. Если скорости и давления в определенной области будут зависеть от одной из координатных осей, то такие движения называются одномерными. В случае, когда скорости зависят от двух или трех координат, движения являются двухмерными или трехмерными.

При исследовании жидкости используются следующие схемы (модели):

· струйчатая схема (модель) движения. Поток жидкости с целью упрощения рассматривается в виде движения множества отдельных элементарных струек;

· модель движения множества частиц жидкости образует сплошную среду. В этом случае рассматривается движение отдельных частиц и течение жидкости представляется в виде дифференциальных уравнений, которые отражают основные кинематические и динамические характеристики.

АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ

Существует два аналитических метода изучения движения жидкости: метод Лагранжа и метод Эйлера.

Метод Лагранжа

Метод Лагранжа изучает кинематику движения в пространстве какой-либо частицы жидкости. Координаты частицы в начальный момент времени : , , . Движущаяся частица имеет определенные текущие координаты , , , которые фиксируются относительно начальных координат , , . Кинематическая картина движения частицы определяется следующими функциональными зависимостями:

(3.1)

Зная текущие координаты частицы, можно построить ее траекторию движения в определенной области пространства. Имея траекторию движения, можно разбить ее на малые участки длиной , проходимые частицей за время . Проекции скорости в точке, где находится частица:

(3.2)

Величины , , являются проекциями пути движения частицы на участке траектории за время на соответствующие координаты.

Поток жидкости будет характеризоваться траекториями движения определенных частиц в течение определенного времени. Метод Лагранжа в технической гидромеханике из-за его сложности не получил достаточно широкого применения.

Метод Эйлера

Метод Эйлера изучает определенную область движения жидкости. В этой области пространства фиксируются точки, которые являются неподвижными при прохождении через них жидкости. В этом случае не рассматриваются траектории движения частиц, как в методе Лагранжа. Метод Эйлера позволяет исследовать изменение скоростей, ускорений в разных точках выбранной области пространства жидкости. Скорости рассматриваются относительно неподвижной системы координат. Составляющие абсолютной скорости , , зависят от нахождения точки в пространстве, т.е. от координат , , и времени .

Составляющие скорости выражаются следующими функциональными зависимостями:

(3.3)

Следует отметить, что давление в точке также является функцией координат:

(3.4)

Метод Эйлера позволяет получить распределение скоростей в определенной области. В случае движения жидкости, когда скорости частиц, проходящих через определенную точку в пространстве, зависят не только от координат расположения точки , но и времени (формула (3.3)), такое движение называется неустановившимся (нестационарным).

Установившимся (стационарным) движением является движение, когда скорости в точке не зависят от времен. Зависимости, определяющие скорости, в этом случае выглядят так:

(3.5)

Так как абсолютная скорость является функцией координат и времени , то полный дифференциал скорости в местных производных

(3.6)

Абсолютное ускорение в точке

(3.7)

Составляющие скорости

(3.8)

При исследовании движения жидкости по методу Эйлера ее геометрическими характеристиками являются линии тока.

Частичка жидкости при движении может изменять свою форму при сохранении своего объема и массы. Частица может двигаться поступательно или вращательно, при этом по сравнению с твердым телом она деформируется.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ СТРУЙЧАТОЙ МОДЕЛИ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ

Как уже отмечалось ранее, пространство, заполненное жидкостью, состоит из бесконечного множества отдельных частиц жидкости, имеющих бесконечно малые размеры и массы. В определенной точке рассматриваемого пространства частица движется с определенной скоростью и на нее действует некоторое давление. При перемещении частицы в пространстве скорость и давление будут непрерывно изменяться. В определенный момент времени в рассматриваемом пространстве в разных его точках скорость имеет разное значение. Картина изменения скорости в пространстве характеризуется полем скоростей, изменение давления - полем давления.

Выделим в пространстве движущейся жидкости частицу жидкости. За определенный промежуток времени частица пройдет через ряд точек пространства с различными скоростями. След, оставленный частицей в виде кривой линии, является траекторией движения. При установившемся движении скорость в каждой точке траектории является неизменной во времени, а траектории отдельных частиц также являются во времени неизменными кривыми. При установившемся движении поле скоростей в рассматриваемом пространстве остается неизменным с течением времени.

В случае неустановившегося движения частица при прохождении точки в разное время имеет разные скорости.

Выберем в пространстве, занятом движущейся жидкостью, в некоторый момент времени т. 1, через которую пройдет частица жидкости. Построим к точке вектор скорости , который определяет направление движения частицы и ее скорость. На этом векторе, отложив малое расстояние , получим т. 2 (рис. 3.1).

Рис. 3.1. Линия тока

В т. 2 построим вектор , соответствующий скорости частицы в данной точке через промежуток времени . На векторе отметим т. 3, отстающую на расстояние . В т. 3 также построим вектор , и на нем отложим расстояние и т.д. Если расстояния между точками будут стремиться к нулю, то в пределе получим кривую вместо ломаной линии 1, 2, 3, 4, ..., . Полученная кривая, начинающаяся в т. 1, является линией тока.

Кривая, проведенная через ряд точек жидкости при установившемся ее движении, в каждой точке которой в данный момент времени векторы скорости касательные, называется линией тока. Линия тока в другой промежуток времени при неустановившемся движении будет представлять другую кривую.

В случае установившегося движения частицы жидкости будут перемещаться вдоль неизменной линии тока. Следовательно, при установившемся движении линии тока и траектории частиц совпадают.

Выделим в пространстве движущейся жидкости элементарный замкнутый контур и через все его точки проведем линии тока. Образовавшаяся таким образом трубчатая поверхность называется трубкой тока. Трубка тока представляет собой как бы бесконечно тонкую непроницаемую стенку.

Частички жидкости, движущиеся внутри трубки тока, образуют элементарную струйку жидкости. В случае стремления поперечных сечений струйки жидкости к нулю она в пределе будет обращаться в линию тока.

При установившемся движении элементарной струйки отмечают следующие ее свойства:

• форма элементарной струйки с изменением времени остается постоянной, так как линии тока, образующие трубку тока, не меняются во времени;

• поверхность трубки тока является непроницаемой для частичек жидкости, находящихся как в пределах струйки, так и вне ее;

• скорости движения частиц в разных точках малого поперечного сечения струйки считаются постоянными, как и давление в сечении.

По длине струйки форма, элементарные поперечные площади и скорости в них изменяются.

Поток жидкости в «струйчатой модели жидкости» рассматривается как совокупность элементарных струек, обладающих приведенными выше свойствами.

В потоке жидкости в связи с различием скоростей в соответствующих струйках они будут скользить относительно друг друга, при этом не будет происходить их перемешивания.