Запись числа в десятичной системе счисления

х = а_n × 10 ⁿ + а _{n – 1} × 10 ^{n – 1} + …+ а₁ × 10 + а₀,

у = b_т × 10 ^т +b _{т – 1} × 10 ^{т – 1} + …+ в₁ × 10 +b₀ .

Тогда число х меньше числа у, если выполнено одно из условий:

а) п < т;

б) п = т, но а_п< b_п;

в) п = т, а_п = b_п, …, а_k = b _k, но а_k-1 < b _k-1

Доказательство. В случаев а) имеем: так как n < т, то 10^п+1 < 10 , а поскольку х<10^{п +1} и 10 £ у, то х < 10^{п +1} £ 10 £ у, т. е. х < у.

В случае б): если n=t, но а_п< b_п, то а_п+1£ b_п и потому (а_п+1)×10^п<b_п×10^п. А так как х < (а_п + 1)×10 ^п и b_п ×10 ^п £ у, то (а_п + 1)×10 ^п < b_п ×10 ^п £ у , х < у.

Аналогично доказывается теорема и в случае в).

Например, если х=345, а у=4678, то х<у, так как первое число трехзначное, а второе - четырехзначное. Если х = 345, а у = 467, то х<у, так как в первом из двух трехзначных чисел меньше сотен. Если х=3456, а у=3467, то х<у, так как, несмотря на то что в каждом из четырехзначных чисел число тысяч и сотен одинаковое, десятков в числе х меньше, чем в числе у.

Если натуральное число х представлено в виде х=а_n×10ⁿ+а_n–1×10^n–1+…+а₁×10+а₀,, то числа 1, 10, 10²,.... 10^п называют разрядными единицами соответственно первого, второго, ..., n+1 разряда, причем 10 единиц одного разряда составляют одну единицу следующего высшего разряда, т.е. отношение соседних разрядов равно 10 - основанию системы счисления.

Три первых разряда в записи числа соединяют в одну группу и называют первым классом, или классом единиц. В первый класс входят единицы, десятки и сотни.

Четвертый, пятый и шестой разряды в записи числа образуют второй класс - класс тысяч. В него входят единицы тысяч, десятки тысяч и сотни тысяч.

Затем следует третий класс - класс миллионов, состоящий тоже из трех разрядов: седьмого, восьмого и девятого, т.е. из единиц миллионов, десятков миллионов и сотен миллионов.

Последующие три разряда также образуют новый класс и т.д. Выделение классов единиц, тысяч, миллионов и т.д. создает удобства для записи и прочтения чисел.

В десятичной системе всем числам можно дать название (имя). Это достигается следующим образом: имеются названия первых десяти чисел, затем из них в соответствии с определением десятичной записи и путем прибавления еще немногих слов образуются названия последующих чисел. Так, числа второго десятка (они представляются в виде 1×10+а₀ образуются из соединения первых десяти названий и сколько измененного слова десять («дцать»):

одиннадцать - один на десять,

двенадцать - два на десять и т.д.

Может быть, естественнее было бы говорить «два и десять», но наши предки предпочли говорить «два на десять», что и сохранилось в речи. Слово «двадцать» обозначает два десятка.

Числа третьего десятка (это числа вида 2×10+а₀) получают путем прибавления к слову «двадцать» названий чисел первого десятка: двадцать один, двадцать два и т.д.

Продолжая далее счет, получим название чисел четвертого, пятого, шестого, седьмого, восьмого, девятого и десятого десятков. Названия этих чисел образуются так же, как и в пределах третьего десятка, только в трех случаях появляются новые слова: сорок (для обозначения четырех десятков), девяносто (для обозначения девяти десятков) и сто (для обозначения десяти десятков). Названия чисел второй сотни составляются из слова «сто» и названий чисел период и последующих десятков. Таким путем образуются наименования: сто один, сто два, ..., сто двадцать и т.д. Отсчитав новую сотню будем иметь две сотни, которые для краткости называют «двести» Для получения чисел, больших двухсот, снова воспользуемся названиями чисел первого и последующих десятков, присоединяя их слову «двести». Затем получим особые названия: триста, четыреста, пятьсот и т.д. до тех пор, пока не отсчитаем десять сотен, которые носят название тысяча.

Счет за пределами тысячи ведется так: прибавляя к тысяче по единице (тысяча один, тысяча два и т.д.), получим две тысячи, три тысячи и т.д. Когда же отсчитаем тысячу тысяч, то это число получит особое наименование - миллион. Далее считаем миллионами до тех пор, пока не дойдем до тысячи миллионов. Полученное новое число - тысяча миллионов - носит особое название миллиард, или биллион. В вычислениях миллион принято записывать в виде 10⁶, миллиард - 10⁹. По аналогии можно получить записи еще больших чисел: триллион - 10¹², квадриллион – 10¹⁵ и т. д.

Таким образом, для того чтобы назвать все натуральные числа в пределах миллиарда, потребовалось только 16 различных слов: один, два, три, четыре, пять, шесть, семь, восемь, девять, десять, сорок, девяносто, сто, тысяча, миллион, миллиард. Остальные названия чисел (в пределах миллиарда) образуются из основных.

Вопросы наименования и записи чисел рассматриваются в начальном курсе математики в разделе «Нумерация». При этом десятичной записью натурального числа считают его представление в виде суммы разрядных слагаемых. Например, 3000+700+40+5 есть сумма разрядных слагаемых числа 3745. Представление числа в виде таких сумм удобно для его наименования: три тысячи семьсот сорок пять.