Или способом подстановки

Пусть требуется найти интеграл , причем непосредственно подобрать первообразную для невозможно, но нам известно, что она существует. В данном случае можно осуществить замену переменной в неопределенном интеграле с помощью подстановок двух видов:

1) положим в подынтегральном выражении , где - монотонная, непрерывно дифференцируемая функция новой переменной t. Формула замены переменной в этом случае имеет вид

;

2) если использовать подстановку вида , где и – новая переменная, то формула замены переменной при ней будет

.

Пример 8.Найдем интеграл .

Произведем подстановку , т.е. . Эта подстановка приведет к тому, что под знаком синуса окажется переменная интегрирования, а не корень из нее. Найдем дифференциал: . Следовательно,

.

Ответ должен быть выражен через старую переменную х. Подставляя в результат интегрирования , получим

.

Пример 9.Найти интеграл .

Полагая , имеем , т.е. . Отсюда получим

.

Пример 10.Найти интеграл .

Произведем подстановку , тогда , т.е. . Следовательно,

.

Пример 11.Найти интеграл .

Преобразуем знаменатель дроби: . Произведем подстановку , тогда . Отсюда

.

Пример 12.Найти интеграл .

Полагая , , , получим

.

Возвращаясь к старой переменной, получим

.