Статически неопределимые задачи продольного нагружения бруса
В статически неопределимых задачах расчета бруса при продольном нагружении одних уравнений статики недостаточно, поэтому необходимо использование дополнительных зависимостей, связанных с условиями совместности деформаций. Число таких дополнительных зависимостей соответствует степени статической неопределимости: s = n – m, где n – число реакций, а m – количество условий статики. В задачах продольного нагружения бруса число уравнений статики m = 1, т.е. = 0.
В статически неопределимых задачах продольного нагружения бруса выделяют два практических случая:
- продольное нагружение жестко закрепленного по концам бруса;
- совместное действие продольной нагрузки и изменение температуры для бруса (возможно наличие зазора между одним концом бруса и опорой).
Пример 3.3. Определить внутренние усилия, напряжения и деформации участков и всего бруса (рис.3.7.) при следующих исходных данных: ; ; ;
Решение
(3.4) |
Рисунок 3.7 – Расчетная схема статически неопределимого бруса и эпюры элементов продольного нагружения
Следовательно, степень статической неопределимости системы равна: s = n – m = 2 – 1=1, т.е. система один раз статически неопределенна. Тогда для решения задачи необходимо составить одно дополнительное уравнение: например, отсутствие перемещения одного сечения бруса в т. В (см. 3.7, б).
Составляем дополнительное уравнение совместности деформаций из условия, что перемещение нижнего сечения бруса в т. В в основной системе должно быть равно нулю:
где – абсолютное перемещение этого сечения от действия внешней силы Р;
– абсолютное перемещение бруса в основной системе от реакции
Абсолютное удлинение бруса от реакции равно:
Тогда из условия совместности деформаций (3.4) получим уравнение:
Из уравнения статики определяем другую реакцию :
3. Используя метод сечений, находим величину продольных сил по участкам бруса:
- на участке I:
- на участке II:
На основании выполненных расчетов строим эпюру продольных сил N (рис. 3.6, в).
4. Определим величину нормальных напряжений в поперечных сечениях бруса по участкам:
Строим эпюру нормальных напряжений σ (рис. 3.6,г).
5. Вычислим абсолютные деформации участков бруса:
6. Определим перемещения границ участков относительно верхней жесткой заделки:
На основании выполненных расчетов строим эпюру перемещений (рис.3.7, д).
Пример 3.4. Стальной брус, жестко закрепленный обоими концами в неподвижных опорах (рис.3.8), нагревается на 40°С по сравнению с температурой, при которой был закреплен. Вычислить напряжения, возникающие в поперечных сечениях бруса при его нагреве. Исходные данные по брусу следующие:
RD |
Рисунок 3.8 – Стальной брус со своими размерами
Решение
Отсюда нельзя определить величины реакций и задача становится статически неопределимой. Поэтому дальнейший ход решения задачи аналогичен предыдущему примеру 3.3.
Отбрасываем правую заделку и заменяем ее действием на брус искомой реактивной силой .
(3.5) |
где α – коэффициент теплопроводности, который для стали на основании справочных данных принимается
– температура нагрева бруса,
p 0qZ0Ph1N+/ofQfixFUeQrOwZeBKolg5nXsk6pbOh/3wYlnjSXuk8yI5J1cuYsdIHFj1xPYWuy7rQ tXjsH3uKM8h3yKuBfsZxJ1GowHylpMX5Tqn9smFGUKLeaOzNPJ5M/EIEZYLEomJOLdmphWmOUCl1 lPTiyoUl8nlruMQeFjLw+5DJIWec20D7Ycf8YpzqwevhT7D8AwAA//8DAFBLAwQUAAYACAAAACEA xyBivuAAAAAJAQAADwAAAGRycy9kb3ducmV2LnhtbEyPzU7DMBCE70i8g7VI3KiTqH8J2VQIRG8I NaC2Rydekoh4HcVuG3h6zAmOoxnNfJNvJtOLM42us4wQzyIQxLXVHTcI72/Pd2sQzivWqrdMCF/k YFNcX+Uq0/bCOzqXvhGhhF2mEFrvh0xKV7dklJvZgTh4H3Y0ygc5NlKP6hLKTS+TKFpKozoOC60a 6LGl+rM8GQRXR8v967zcHyq5pe9U66fj9gXx9mZ6uAfhafJ/YfjFD+hQBKbKnlg70SOs4kX44hHm 6QpECKyjRQyiQkiTBGSRy/8Pih8AAAD//wMAUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhALaDOJL+AAAA4QEAABMA AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAFtDb250ZW50X1R5cGVzXS54bWxQSwECLQAUAAYACAAAACEAOP0h/9YA AACUAQAACwAAAAAAAAAAAAAAAAAvAQAAX3JlbHMvLnJlbHNQSwECLQAUAAYACAAAACEAK++WSkUC AABRBAAADgAAAAAAAAAAAAAAAAAuAgAAZHJzL2Uyb0RvYy54bWxQSwECLQAUAAYACAAAACEAxyBi vuAAAAAJAQAADwAAAAAAAAAAAAAAAACfBAAAZHJzL2Rvd25yZXYueG1sUEsFBgAAAAAEAAQA8wAA AKwFAAAAAA== " strokecolor="white [3212]">
(3.6) |
(3.7) |
имеем равенство:
Тогда неизвестная реакция из полученного равенства будет:
Напряжения в поперечных сечениях в средней части стержня:
Напряжение в поперечных сечениях крайних частей стержня:
Знаки «минус» в напряжениях соответствуют тому, что напряжения сжимающие.
Дата добавления: 2016-10-18; просмотров: 5711;