Постоянная и случайная составляющие случайной переменной

Часто вместо рассмотрения случайной величины как единого целого можно и удобно разбить ее на постоянную и чисто случайную составляющие, где постоянная составляющая всегда есть ее математическое ожидание. Если x – случайная переменная и – ее математическое ожидание, то декомпозиция случайной величины записывается следующим образом:

, (14)

где – чисто случайная составляющая.

Из формулы (14) следует, что случайная составляющая определяется как разность между x и

. (15)

Из определения следует, что математическое ожидание величины равно нулю:

.

Поскольку весь разброс значений обусловлен , следовательно, и теоретическая дисперсия равна теоретической дисперсии . Последнее нетрудно доказать. По определению,

и

.

Таким образом, может быть эквивалентно определена как дисперсия x или .

Обобщая, можно утверждать, что если x – случайная переменная, определенная по формуле (14), где – заданное число и – случайный член с и , то математическое ожидание величины x равно , а дисперсия – .