Теория метода и описание установки

6.2.1 Приборы и материалы: баллон с кранами, манометр, насос.

Для определения отношения теплоемкостей в данной работе используется метод, предложенный Клеманом и Дезормом.

Установка для выполнения работы этим методом состоит из стеклянного баллона А (рисунок 6.1) емкостью 15 ¸ 20 литров, соединенного с манометром В и с насосом (на рисунке не показан). Через кран С баллон А соединяется с атмосферой. С помощью крана Д баллон сообщается с насосом. При открытом кране С баллон заполнен воздухом массой m₀ при атмосферном давлении P₀ и комнатной температуре T₀ (состояние 1). На диаграмме P–V (рисунок 6.2) представлена последовательность процессов при выполнении работы. Кран С закрывают и насосом накачивают дополнительную порцию воздуха m.

Давление в баллоне повышается до Р, так как масса газа увеличивается , состояние 2 (PTV₁) (рисунок 6.2).

Температура воздуха увеличивается до T, потому что внешние силы совершают работу по сжатию газа массы m₀ при накачивании воздуха . Вследствие теплообмена воздуха с окружающей средой через некоторое время (2 ¸3 мин.) температура воздуха, находящегося в баллоне, сравняется с температурой внешней среды T₀. При этом по манометру можно отметить уменьшение давление воздуха. Когда температура воздуха в баллоне будет равна комнатной (показания манометра перестанут меняться), давление в баллоне станет равным

, (6.31)

где r×g×h₁ – избыточное давление воздуха в баллоне,
r – плотность жидкости в манометре,
h₁ – разность уровней жидкости в манометре.

Это состояние 3 с параметрами (P₁V₁T₀), где V₁ – объем массы газа m₀.

Затем кран С открывается на короткое время, при этом часть воздуха выходит из баллона, и давление сравнивается с атмосферным P₀. Оставшаяся часть адиабатически расширяется, совершая работу против атмосферного давления; внутренняя энергия газа уменьшается, и температура понижается до T₁ < T₀, состояние 4 (P₀ V₂T₁). Затем кран С быстро закрывают, и воздух в баллоне начинает медленно нагреваться до температуры окружающей среды T₀ – состояние 5 (P₂ V₂T₀), давление при этом увеличивается до P₂.

Понятие адиабатического процесса является идеализацией, так как невозможно полностью исключить обмен теплом между газом и окружающей средой. Но процесс теплообмена идет довольно медленно, поэтому быстрое расширение газа можно рассматривать приближенно адиабатическим.

Давление в баллоне станет равным P₂:

, (6.32)

где r×g×h₂ – избыточное давление после расширения и установления температуры T₀,
h₂ – разность уровней жидкости в манометре после нагревания до температуры T₀.

По величине измеренных на опыте давлений P₀, P₁ и P₂ можно определить соотношение теплоемкостей:

.

Для этого мысленно выделим внутри баллона произвольную массу воздуха m₀, ограниченную замкнутой поверхностью, которая играет роль «оболочки». На рисунке 6.1 «оболочка» изображена пунктирной линией. В рассмотренных выше процессах воздух внутри нее будет расширяться и сжиматься, совершая работу против давления окружающего воздуха и обмениваясь с ним теплом.

Рисунок 6.2

Запишем параметры для различных состояний воздуха внутри «оболочки».

Первое состояние – после накачки воздуха и выравнивания температур; на диаграмме P–V это точка (3) (рисунок 6.2):

I состояние – параметры – P₁, V₁, T₀.

Второе состояние точка (4) – после адиабатического расширения:

I II состояние – параметры – P₀, V₂, T₁.

Третье состояние – после закрытия крана и выравнивания температуры до T₀ – точка (5):

III состояние– параметры – P₂, V₂, T₀.

Разность давлений P₁–P₀ и P₂–P₁ в сотни и тысячи раз меньше атмосферного P₀, поэтому для упрощения вычислений с этими разностями можно обращаться как с бесконечно малыми величинами. То же относится и к соответствующим изменениям объема выделенной массы газа.

Переход газа из состояния I (3 – P₁V₁T₀) в состояние II (4 – P₀V₂T₁) происходит адиабатически:

. См. (6.27)

Учитывая, что в условиях опыта изменения объемов и давлений газа малы, уравнение адиабаты (6.27) можно записать:

. (6.33)

В состояниях I (точка 3) и III (точка 5) на диаграмме P–V воздух имеет одинаковую температуру T₀, поэтому применяем закон Бойля-Мариотта (PV = const), запишем его в дифференциальной форме:

или

. (6.34)

Решая совместно (6.33) и (6.34), имеем:

. (6.35)

Подставим в это соотношение и получим:

. (6.37)

Так как в рабочей формуле (6.37) g выражена через отношение избыточных давлений, то измерять его можно в любых единицах. Удобнее всего выразить его в миллиметрах водяного столба по манометру.

Для определения отношения опытным путем необходимо измерить разности уровней h₁ и h₂ и, пользуясь формулой (6.37), произвести вычисления.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ВЯЗКОСТИ ЖИДКОСТИ С ПОМОЩЬЮ КАПИЛЛЯРНОГО ВИСКОЗИМЕТРА И МЕТОДОМ СТОКСА

Течение реальной жидкости по трубе постоянного сечения сопровождается падением статического давления. Это явление объясняется наличием у жидкости внутреннего трения (вязкости) и сопровождается переходом части ее механической энергии во внутреннюю. При ламинарном течении жидкости по трубе скорость слоев непрерывно меняется от максимальной (по оси трубы) до нуля (у стенок).

Любой из слоев тормозит движение соседнего слоя, расположенного ближе к оси трубы, и оказывает ускоряющее действие на слой, расположенный дальше от оси.

Между соприкасающимися слоями жидкости действуют касательные силы внутреннего трения. Модуль этих сил зависит от площади S слоев и градиента скорости d /dx (изменения скорости на единицу длины в направлении, перпендикулярном скорости) и определяется законом Ньютона:

, (7.1)

где η – динамический коэффициент вязкости, численно равный силе трения, возникающей между параллельно движущимися слоями жидкости единичной площади при единичном градиенте скорости.

В системе СИ за единицу вязкости принимается вязкость жидкости, у которой сила трения между двумя соприкасающимися слоями, рассчитанная на единицу площади (1 квадратный метр) равна одному ньютону при градиенте скорости 1 или 1 .

Единица вязкости в СИ – Паскаль-секунда ( ):

.

Для единицы вязкости в системе СГС установлено название “пуаз” (Пз).

.

Вязкостью в один пуаз обладает жидкость, у которой сила трения между двумя соседними слоями, рассчитанная на 1 площади соприкосновения слоев при градиенте скорости 1 , равна одной дине (единица силы в системе СГС):

Легко видеть, что 1 Па×с = 10 пуаз=10 Пз,

1Пз= 1 пуаз = 0,1 Па×с.

На практике часто употребляется в сто раз меньшая единица вязкости – сантипуаз. Примерно такую вязкость имеет вода при 20 °С.

1 сантипуаз = 10^-2 пуаз=10^-3 Па×с.

Вязкость других жидкостей имеет разнообразные значения. Вязкость этилового спирта при 20 °С равна 1,2 сантипуаза, этилового эфира – около 0,2 сантипуаза. Глицерин имеет вязкость 850 сантипуазов при температуре 20 °С и 350 сантипуазов при 30 °С.

Вязкость некоторых жидкостей (эмульсии, суспензии, растворы полимеров) зависит от режима их течения – давления, градиента скорости. Это объясняется тем, что структурные элементы жидкости (белковые молекулы, дисперсные частицы) располагаются в потоке по-разному при разных скоростях. Такие жидкости называют неньютоновскими. Кровь (суспензия клеток крови в белковом растворе – плазме) также относится к неньютоновским жидкостям.

При течении жидкости по трубке, стенки которой смачиваются ею, можно считать, что слой жидкости, непосредственно прилегающий к внутренней поверхности трубки, прилипает к ней и остается неподвижным. Более удаленные от стенок слои скользят вдоль соседних слоев, и скорость движения жидкости возрастает по мере удаления от стенок. С наибольшей скоростью движутся частицы жидкости, находящиеся на оси трубки.

Рассмотрим стационарный поток жидкости, ламинарно текущей слева направо через трубку круглого сечения, радиус которой (рисунок 7.1).

Мысленно выделим в жидкости цилиндр радиуса и длины , ось которого совпадает с осью трубки. Обозначим давление на его торцах через и . В стационарных условиях результирующая сил давления на основания цилиндра уравновешивается силой вязкого трения, действующей на боковую поверхность цилиндра со стороны наружных слоев жидкости. По закону вязкого трения эта сила равна:

, (7.2)

где – площадь боковой поверхности цилиндра,

h – динамическая вязкость жидкости,

– градиент скорости.

Рисунок 7.1

Заменяя через площадь боковой поверхности и приравнивая нулю сумму сил, действующих на цилиндр, можно записать:

. (7.3)

Откуда выразим :

. (7.4)

Знак “–” в формуле (7.4) свидетельствует о том, что с увеличением расстояния от оси трубки скорости частиц жидкости уменьшаются ( >0, <0).

Интегрируя (7.4), получим функцию :

, (7.5)

где С – константа интегрирования, которая может быть найдена из граничных условий. Чтобы найти ее заметим, что скорость жидкости обращается в нуль на внутренней поверхности трубки, где жидкость “прилипает” к стенкам, т.е. при

(7.6)

откуда

. (7.7)

Таким образом, зависимость скорости частиц жидкости от расстояния до оси трубки имеет вид:

(7.8)

Рисунок 7.2

Как следует из полученной функции (7.8), скорость жидкости квадратично меняется с радиусом и максимальна на оси трубки при =0 (рисунок 7.2 ). Максимальная скорость частиц жидкости равна:

. (7.9)

Объем жидкости, протекающей через кольцевое поперечное сечение трубки радиуса с величиной зазора dr (рисунок 7.3) за промежуток времени равен:

, (7.10)

а за единицу времени

. (7.11)

Рисунок 7.3

Объем жидкости, протекающей за единицу времени через все поперечное сечение трубки, можно получить, проинтегрировав последнее выражение от нуля до радиуса трубки R:

. (7.12)

Подставив функцию (7.8) в (7.12), получим:

, (7.13)

откуда

, (7.14)

где Q – объемная скорость истечения жидкости или газа.

Полученное выражение носит название формулы Пуазейля. Единица измерения объемной скорости истечения в СИ – метр кубический на секунду (м³/с).

Прежде чем применять формулу Пуазейля к конкретным расчетам, всегда следует убедиться в том, что течение жидкости является ламинарным.

В реальной жизни мы редко встречаемся с ламинарным течением. Движение воды в водопроводе и в реке, движение воздуха в атмосфере практически всегда оказывается турбулентным. Разделить эти два режима можно, исследуя зависимость объемной скорости истечения от давления. При ламинарном течении объемная скорость пропорциональна разности давлений на концах трубки:

~ , (7.15)

а при турбулентном – корню квадратному из нее:

~ . (7.16)

Характер течения жидкости зависит от числа Рейнольдса Re, которое определяется с помощью формулы:

, (7.17)

где – скорость потока,

– радиус трубки,

– плотность жидкости,

– динамический коэффициент вязкости жидкости.

В гладких трубках круглого сечения течение имеет ламинарный характер, если Re <1000.

Ламинарное движение жидкости при переходе ее из широкого сосуда в капилляр устанавливается не сразу, а после того, как она пройдет расстояние a, зависящее от радиуса трубки и числа Рейнольдса:

. (7.18)

Приборы, служащие для определения вязкости, называются вискозиметрами. В данной работе вязкость жидкости определяется при помощи капиллярного вискозиметра.

Вязкость жидкостей может быть определена абсолютным методом, т.е. путем непосредственного измерения линейных размеров капилляра, объема жидкости и времени ее истечения. Чтобы, пользуясь формулой Пуазейля, определить коэффициент вязкости жидкости , надо иметь возможность с большой точностью измерить все величины, входящие в формулу (7.14), что сделать довольно трудно.

Значительно проще относительный метод. В этом случае вязкость исследуемой жидкости может быть определена путем ее сравнения с известным коэффициентом вязкости другой жидкости. Относительный метод измерения вязкости является более распространенным. В этом случае нужно лишь измерить промежутки времени и протекания через одну и ту же капиллярную трубку строго одинакового объема двух жидкостей с коэффициентами вязкости (известным) и (подлежащим определению).

7.1.2 Вискозиметр Оствальда

Вискозиметр Оствальда – капиллярный вискозиметр (рисунок 7.4) представляет собой U-образную стеклянную трубку, в одно колено которой впаян капилляр 1 с шариком 2 в верхней части. Выше шарика поставлена метка “а”, ниже шарика – метка “b”. Внутренний объем шарика между метками равен .

Другое колено вискозиметра представляет собой широкую трубку 3. Внизу находится резервуар 4, в который через широкую трубку заливают из бюретки определенный объем дистиллированной воды, вязкость которой известна.

С помощью резиновой груши, подсоединенной к широкой трубке вискозиметра, воду из резервуара поднимают по капилляру так, чтобы ее мениск установился несколько выше метки “а” (либо жидкость всасывается через капиллярную трубку). Сняв грушу с трубки и удерживая вискозиметр в вертикальном положении, дают возможность воде свободно протекать через капилляр, наблюдая за понижением уровня жидкости. Когда мениск проходит мимо верхней метки “а”, включают секундомер, и выключают его, когда мениск проходит мимо нижней метки “b”. Таким образом измеряют время , за которое объем эталонной жидкости протекает через капилляр.

Рисунок 7.4.

В капиллярном вискозиметре диаметр капилляра и перепад давления на нем подобраны так, что течение жидкости в капилляре всегда является ламинарным.

Для расчета процесса течения эталонной жидкости через капилляр воспользуемся формулой Пуазейля. Разность давлений на концах капилляра в вискозиметре Оствальда

P₁ – P₂=ρgh, (7.19)

где ρ – плотность жидкости, g– ускорение свободного падения.

С учетом сказанного формула Пуазейля в применении к жидкости, протекающей по капилляру вискозиметра, принимает вид:

, (7.20)

где t – промежуток времени протекания через капилляр вискозиметра исследуемой жидкости, плотность которой , а вязкость .

Для эталонной жидкости:

. (7.21)

Приравнивая друг к другу правые части выражений (7.21) и (7.21), получаем после сокращения:

. (7.22)

Зная коэффициент внутреннего трения h одной жидкости, легко найти коэффициент внутреннего трения h другой жидкости, если известны r , r, а также t , .

. (7.23)

Эта формула является окончательной. Плотность воды при различных температурах приведена в таблице А.1 Приложения А. Значение вязкости дистиллированной воды при комнатной температуре следует взять из таблицы А.2 Приложения А.

Коэффициент вязкости жидкости сильно зависит от температуры, и поэтому необходимо указывать температуру, при которой он был получен.

Определение коэффициента вязкости жидкости методом Стокса

Основные понятия и закономерности

Молекулы любого вещества представляют собой устойчивые и трудно деформируемые электрические системы. Эта устойчивость обусловлена тем, что состояние молекул не может меняться непрерывно. Переход молекулы (атома) из одного возможного состояния в другое связан со значительным изменением ее энергии, что и приводит к большей устойчивости.

В молекулах суммы положительных и отрицательных зарядов равны, поэтому молекула электрически нейтральна, и электрическое поле за пределами молекул очень быстро убывает с расстоянием.

При сближении двух молекул, пока расстояние между их центрами r велико по сравнению с диаметрами молекул d (диаметрами электронной оболочки), силы взаимодействия между молекулами пренебрежительно малы. (рисунок 7.5 а).

При дальнейшем сближении двух молекул на расстояниях порядка двух-трех диаметров начинает постепенно проявляться взаимодействие электрических зарядов ядер и электронных оболочек молекул. Благодаря притяжению разноименных и отталкиванию одноименных зарядов произойдет небольшая деформация обеих взаимодействующих молекул, так что распределение зарядов в молекуле станет примерно таким, как показано на рисунке 7.5 б. В результате между молекулами возникнут силы притяжения F_прит.

По мере дальнейшего сближения молекул деформация молекул и величина сил притяжения F_прит. будут возрастать. Но когда молекулы подойдут «вплотную» друг к другу и «соприкоснуться» своими электронными оболочками, то дальнейшая деформация молекул будет затруднена. Так как возникнут огромные силы отталкивания F_отт., резко возрастающие при сближении и взаимной деформации молекул (рисунок 7.6 в).

Абсолютная величина сил взаимодействия зависит от конкретного строения рассматриваемых взаимодействующих молекул.

Рисунок 7.5

На рисунке 7.6 (а, б) изображена примерная зависимость молекулярных сил взаимодействия F от расстояния между молекулами и потенциальной энергии. Значения F< 0 соответствуют силам притяжения, значения F> 0 – силам отталкивания.

Рисунок 7.6

На некотором расстоянии r_o, характерном для данной пары молекул, притяжение и отталкивание уравновешивают друг друга и результирующая сила взаимодействия становится равной нулю F(r_o) = 0. Это расстояние r_o соответствует положению равновесия, в котором могут находиться взаимодействующие молекулы при отсутствии теплового движения. Потенциальная энергия взаимодействия молекул в этом состоянии минимальна (рисунок 7.6 б).

Так как средняя кинетическая энергия теплового движения молекул пропорциональна КТ, то структура любой совокупности молекул и агрегатное состояние вещества будут существенно зависеть от соотношения величин ïU_мин.ï и КТ.

1) В предельном случае низких температур, когда КТ << ïU_мин.ï, молекулы притянутся друг к другу и расположатся вплотную в определенном порядке – вещество будет находиться в твердом состоянии. Тепловое движение молекул в твердом теле будет в виде малых колебаний около определенных положений равновесия в пространстве.

2) При высоких температурах КТ >> ïU_мин.ï интенсивное тепловое движение молекул будет препятствовать соединению молекул. Вещество при этом будет находиться в газообразном агрегатном состоянии.

3) При промежуточных состояниях, когда КТ » ïU_мин.ï, благодаря тепловому движению, молекулы будут непрерывно перемещаться в пространстве, обмениваясь местами, но не отходя от соседей на расстояние, заметно превышая r_o. Вещество при этом будет находиться в жидком агрегатном состоянии.

Любое вещество в зависимости от своей температуры может находиться в твердом, жидком или газообразном состоянии.

Характер теплового движения молекул жидкости отличается от теплового движения молекул газа. Так как среднее расстояние r между молекулами в жидкости близко r_o, то молекулы большую часть времени колеблются около своих положений равновесия. Из-за хаотичности теплового движения скорости и амплитуды колебаний соседних молекул различны, и время от времени соседние молекулы расходятся друг от друга настолько, что отдельные молекулы перескакивают на расстояние порядка d (диаметра молекулы), «застревают» в новых положениях равновесия и начинают колебаться около них. С ростом температуры растет средняя энергия теплового движения, амплитуда колебаний и частота перехода молекул из одного положения равновесия в соседнее. Поэтому в отличие от газа «длина свободного пробега» молекул жидкости имеет порядок диаметра молекул и практически не зависит от внешнего давления и температуры.

При практических и теоретических расчетах часто используют кинематический коэффициент вязкости g – отношение динамического коэффициента вязкости к плотности вещества при той же температуре:

Þ 1 м²/c. (7.26)

Формулу (7.26) можно вывести, используя основные положения молекулярно-кинетической теории. и – скорости направленного движения слоев 1 и 2 жидкости, и скорости теплового движения молекул, m_o – масса одной молекулы. Градиент скорости равен , характеризует изменение скорости направленного движения слоев жидкости (газа) при расстоянии между ними 1 м, измеряется в . Направлен градиент скорости в направлении увеличения скорости.

Рисунок 7.7

Перенос количества движения (импульса) между слоями жидкости, движущимися с различными скоростями, подчиняется как и в газах, закону Ньютона:

, (7.27)

где S – площадь соприкасающихся слоев;

– градиент скорости движения жидкости;

h – динамический коэффициент вязкости (внутреннего трения), который численно равен силе, действующей между слоями жидкости, имеющими площадь соприкосновения 1 м² и градиент скорости 1с ^{– 1}.

Единицей вязкости в СИ является Паскаль×секунда – вязкость, при которой градиент скорости, равный 1м/c на 1 м, приводит к возникновению силы внутреннего трения в 1Н на 1 м² поверхности соприкосновения слоев.

Механизм вязкости жидкости отличен от механизма вязкости газов. Торможение слоев жидкости обусловлено двумя причинами:

1) переносом молекулами импульса при их переходе из слоя в слой в результате теплового движения молекул;

2) наличием сил притяжения между молекулами мономолекулярных слоев (рисунок 7.8).

Для того, чтобы сместить первый слой 1 относительно второго 2, необходимо преодолеть силы притяжения между молекулами f (рисунок 7.8). Силы, препятствующие этому смещению слоев, являются силами трения. В жидкостях расстояние между молекулами сравнимо с размерами самих молекул, поэтому силы притяжения между ними велики. И вследствие этого вторая причина, обуславливающая вязкость жидкости, превалирует над первой.

Рисунок 7.8

При нагревании жидкости возрастает ее свободный объем (V ^{– b}), где b – постоянная в уравнении Ван-дер-Ваальса. Учитывая это, А.И. Бачинский (1877 – 1944) предложил простую формулу, описывающую зависимость жидкости от температуры:

(7.28)

где В – константа, различная для разных жидкостей.

Формула Бачинского хорошо оправдывается на опыте, но не показывает явной зависимости коэффициента вязкости от температуры.

Я.И. Френкель вывел формулу, связывающую коэффициент вязкости жидкости с температурой:

(7.29)

где w – энергия, которую необходимо сообщить молекуле, чтобы она перешла из одного положения равновесия в другое.

Величина w обычно имеет порядок (2-3) 10 ^{– 20} Дж. Поэтому при нагревании жидкости на 10⁰ вязкость ее падает на 20 ¸ 30%. Вязкость жидкости во много раз больше вязкости газа. С ростом температуры вязкость жидкости быстро падает, а вязкость пара медленно возрастает, и при критической температуре Т_к они сравниваются друг с другом, как показано на рисунке 7.9.

(кривая I – для жидкости, кривая 2 – для пара)
Рисунок 7.9

Динамический коэффициент вязкости жидкости может быть определен методом падающего шарика в вязкой среде, предложенным Стоксом

Рассмотрим падение шарика в вязкой покоящейся жидкости (рисунок 7.10).

Рисунок 7.10

На шарик, падающий в этой жидкости, действуют силы:

1. Сила тяжести:

P = m g = p r³r g, (7.30)

где r – радиус шарика;

– объем шарика,

r – плотность вещества, из которого изготовлен шарик,

g – ускорение свободного падения.

2. Выталкивающая сила (по закону Архимеда):

, (7.31)

где r_ж – плотность жидкости.

Закон Архимеда: на тело, погруженное в жидкость или газ, действует выталкивающая сила, равная весу жидкости, вытесненной данным телом, направленная вертикально вверх.

3. Сила сопротивления движению, обусловленная силами внутреннего трения между слоями жидкости (формула Стокса):

F₂ = 6p h ru , (7.32)

где u – скорость относительного движения слоев жидкости, она равна скорости шарика;

h – динамический коэффициент вязкости жидкости. В данном случае играет роль не трение шарика о жидкость, а трение слоев жидкости друг о друга, т.к. при соприкосновении твердого тела с жидкостью к поверхности тела тотчас же прилипают молекулы жидкости.

Слой жидкости, непосредственно прилегающий к телу, движется вместе с телом со скоростью движения тела. Этот слой увлекает в своем движении соседние слои жидкости.

Для описания движения шарика воспользуемся вторым законом Ньютона:

, (7.33)

или в проекциях на направление движения:

ma = P – F₁ – F₂. (7.34)

Cначала шарик движется неравномерно, но, начиная с некоторого момента времени, его движение становится равномерным, т.е. а = 0, и уравнение движения примет вид:

P – F₁ – F₂ = 0. (7.35)

Подставив значение сил, получим:

. (7.36)

Из уравнения (7.36) получим рабочую формулу для опытного определения динамического коэффициента вязкости жидкости:

, (7.37)

где u = l/t – скорость шарика в жидкости.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЁМКОСТИ КОНДЕНСАТОРОВ

Если уединенному проводнику сообщить заряд q, то он распределится по поверхности так, что напряженность поля внутри проводника будет равна нулю. Если проводнику, уже несущему заряд q, сообщить еще заряд той же величины, то второй заряд должен распределиться по проводнику точно таким же образом, как и первый. (Это справедливо лишь в том случае, если увеличение заряда на проводнике не вызовет изменений в распределении зарядов на окружающих телах, т.е. если проводник удален от других тел.) Таким образом различные по величине заряды распределяются на уединенном проводнике подобным образом. Отсюда следует, что потенциал уединенного проводника пропорционален находящемуся на нем заряду.

q=С×j . (8.1)

Действительно, увеличение в некоторое число раз заряда приводит к увеличению в то же число раз напряженности поля в каждой точке окружающего проводник пространства. Следовательно, в такое же число раз возрастает работа по переносу единичного заряда из бесконечности на поверхность проводника, т.е. потенциал проводника.

Коэффициент пропорциональности С между потенциалом и зарядом называется электроёмкостью (или просто ёмкостью) проводника. Следовательно,

. (8.2)

Электроёмкость уединенного проводника зависит от его формы, размеров и диэлектрической проницаемости среды, в которой он находится. Геометрически подобные проводники обладает ёмкостями, пропорциональными их линейным размером.

Если заряд проводника увеличить на величину , то его потенциал возрастет на , то есть

. (8.3)

Таким образом,

. (8.4)

Из соотношения (8.4) видно, что электроёмкость проводника численно равна заряду, изменяющему потенциал проводника на единицу (в СИ на 1 Вольт).

Размерность электроемкости равна отношению размерности заряда к размерности потенциала:

.

В СИ за единицу электроёмкости принята ёмкость такого проводника, у которого при сообщении заряда в 1 кулон потенциал изменяется на 1 вольт. Эта единица называется фарад. Фарад крупная единица и на практике используется меньшие единицы: 1 микрофарад (мкФ) = 10^-6 фарад, 1 пикофарад (пФ) = 10^-12 Ф.

Вычислим электроемкость уединенного шара радиуса , находящегося в безграничном диэлектрике с диэлектрической проницаемостью . Потенциал заряженного шара равен:

. (8.5)

Следовательно,

. (8.6)

При наличии других тел (проводников или изоляторов) вблизи данного проводника его электроёмкость изменяется и будет зависеть от формы, размеров и относительного расположения соседних тел. В незаряженном проводнике, расположенном вблизи заряженного, происходит перераспределение свободных зарядов (возникают индуцированные заряды), а это приводит к ослаблению электростатического поля заряженного проводника; диэлектрики поляризуются и тоже ослабляют поле заряженного проводника. Вследствие этого при внесении в среду, окружающую заряженный проводник, других проводников и диэлектриков потенциал рассматриваемого проводника уменьшается по абсолютной величине, а его электроёмкость возрастает.

В свою очередь, заряженный проводник изменяет ёмкость других проводников. Поэтому при наличии нескольких проводников рассматривают их взаимную емкость.

Взаимная емкость двух проводников всегда больше ёмкости уединенных проводников. Систему двух проводников, разделённых диэлектриком, называют конденсатором (накопителем заряда). При сообщении им зарядов и электростатическое поле сосредоточено в пространстве между ними. Поэтому ёмкость конденсатора не зависит от наличия других проводников и диэлектриков.

Отношение модуля заряда на одной из его обкладок к разности потенциалов между обкладками определяет электроёмкость конденсатора:

. (8.7)

Она зависит только от размеров, формы, взаимного расположения обкладок и диэлектрической проницаемости диэлектрика, заполняющего пространство между обкладками.

Простейшей конструкцией конденсатора является плоский конденсатор, состоящий из двух проводящих пластин площадью , расположенных на расстоянии друг от друга, пространство между ними заполнено диэлектриком с диэлектрической проницаемостью . Рассчитаем его электроёмкость. Если линейные размеры пластин велики по сравнению с расстоянием между пластинами ( ), то можно пренебречь краевыми эффектами и считать электрическое поле внутри конденсатора однородным, а заряд