Криволинейный интеграл второго рода в координатной форме

При определении криволинейного интеграла второго рода элементарная работа силы на участке находилась как скалярное произведение вектора и вектора, приближенно равного по длине и направлению участку . Вместо вектора , в качестве вектора, близкого к можно взять вектор , начало и конец которого совпадают с началом и концом участка .

Найдем скалярное произведение векторов и в координатной форме как сумму произведений соответствующих координат:

Переходя к пределу при , где ― длина наибольшей из элементарных дуг , получаем точное значение работы

.

Следовательно, криволинейный интеграл второго рода в скалярной координатной форме имеет вид:

или, в более краткой форме

.
Вычисление криволинейных интегралов второго рода

Пусть линия задана параметрически

: .

Тогда по определению дифференциала

Отметим начало дуги точкой , конец — точкой . В этом случае говорят, что задано направление перемещения по кривой от точки к точке и тем самым указано направление ориентирующего вектора .

Покажем, что вычисление криволинейного интеграла второго рода по линии заданной параметрически, сводится к вычислению однократного определенного интеграла по параметру :

А в случае плоской кривой, когда , последняя формула примет вид:

Замечание. Для плоской кривой, заданной уравнением , криволинейный интеграл второго рода в координатной скалярной форме сводится к определенному интегралу по переменной

(Выбрана ориентация , при которой , соответствуют началу и окончанию пути интегрирования.)

Если кривая задана уравнением , , то при соответствующей ориентации интегрирование по переменной будет осуществляться от до :

.

Пример.Вычислить , где — отрезок прямой с началом в точке и концом в точке .

Решение.Изобразим на рисунке линию интегрирования.

Воспользуемся формулами параметрических уравнений прямой с направляющим вектором , проходящей через начальную точку с координатами :

Запишем параметрические уравнения прямой, которой принадлежит отрезок , приняв за направляющий вектор прямой вектор .

.

Начальной точкой отрезка является точка . Следовательно, параметрические уравнения этой прямой:

Из полученных уравнений находим, что точке соответствует значение параметра , а точке значение .

По определению дифференциала

Подставляя в интеграл значения и , а также учитывая значения параметра и , соответствующие началу и концу дуги , получим:

.

Пример.Вычислить , где — отрезок прямой с началом в точке и концом в точке .

Решение.Изобразим на рисунке линию интегрирования.

Воспользуемся формулами параметрических уравнений прямой с направляющим вектором , проходящей через начальную точку с координатами :

Запишем параметрические уравнения прямой, которой принадлежит отрезок , приняв за направляющий вектор прямой вектор , т. е. .

Начальной точкой отрезка является точка . Следовательно, параметрические уравнения этой прямой:

Из полученных уравнений находим, что точке соответствует значение параметра , а точке значение .

По определению дифференциала

Учитывая, что и , подставляем в интеграл только значения и , а также значения параметра и , соответствующие началу и концу дуги

.

Пример.Вычислить , где —плоская кривая, являющаяся частью параболы от точки до точки .

Решение.Изобразим на рисунке линию интегрирования .

Воспользуемся формулой:

В данном случае соответствуют началу и окончанию пути интегрирования, , следовательно:

.

Формула Грина

Формула Грина устанавливает связь между двойным интегралом по области и криволинейным интегралом по контуру , ограничивающему эту область. Будем считать, что область является стандартной в направлении каждой координатной оси и снизу ограничена графиком функции (дугой ),сверху — графиком функции (дугой ),которые вместе составляют замкнутый контур .

Пусть в области и на ее границе заданы функции и непрерывные вместе со своими частными производными , ,тогда

,

где обход контура совершается в положительном на­правлении, т. е. против часовой стрелки (область остается слева). Следовательно,

. (1)

Аналогично получаем

, (2)

где обход контура также совершается в положительном направлении.

Вычитая почленно (1) из (2), получаем формулу Грина

.

Замечание 1. Если обход контура совершается в отрицательном направлении, т. е. по часовой стрелке (область остается справа), то формула Грина принимает вид

.

Замечание 2. Формула Грина дает возможность вычислять площадь области с помощью криволинейного интеграла. Действительно, если , , то формула Грина перепишется так:

,

откуда

, (3)

где обход контура совершается против часовой стрелки.

Пример.Определить с помощью криволинейного интеграла площадь, ограниченную эллипсом с полуосями и .

Решение. Запишем параметрические уравнения эллипса

.

Тогда

И по формуле (3) получим

.