Криволинейный интеграл второго рода в координатной форме
При определении криволинейного интеграла второго рода элементарная работа силы на участке находилась как скалярное произведение вектора и вектора, приближенно равного по длине и направлению участку . Вместо вектора , в качестве вектора, близкого к можно взять вектор , начало и конец которого совпадают с началом и концом участка .
Найдем скалярное произведение векторов и в координатной форме как сумму произведений соответствующих координат:
Переходя к пределу при , где ― длина наибольшей из элементарных дуг , получаем точное значение работы
.
Следовательно, криволинейный интеграл второго рода в скалярной координатной форме имеет вид:
или, в более краткой форме
.
Вычисление криволинейных интегралов второго рода
Пусть линия задана параметрически
: .
Тогда по определению дифференциала
Отметим начало дуги точкой , конец — точкой . В этом случае говорят, что задано направление перемещения по кривой от точки к точке и тем самым указано направление ориентирующего вектора .
Покажем, что вычисление криволинейного интеграла второго рода по линии заданной параметрически, сводится к вычислению однократного определенного интеграла по параметру :
А в случае плоской кривой, когда , последняя формула примет вид:
Замечание. Для плоской кривой, заданной уравнением , криволинейный интеграл второго рода в координатной скалярной форме сводится к определенному интегралу по переменной
(Выбрана ориентация , при которой , соответствуют началу и окончанию пути интегрирования.)
Если кривая задана уравнением , , то при соответствующей ориентации интегрирование по переменной будет осуществляться от до :
.
Пример.Вычислить , где — отрезок прямой с началом в точке и концом в точке .
Решение.Изобразим на рисунке линию интегрирования.
Воспользуемся формулами параметрических уравнений прямой с направляющим вектором , проходящей через начальную точку с координатами :
Запишем параметрические уравнения прямой, которой принадлежит отрезок , приняв за направляющий вектор прямой вектор .
.
Начальной точкой отрезка является точка . Следовательно, параметрические уравнения этой прямой:
Из полученных уравнений находим, что точке соответствует значение параметра , а точке значение .
По определению дифференциала
Подставляя в интеграл значения и , а также учитывая значения параметра и , соответствующие началу и концу дуги , получим:
.
Пример.Вычислить , где — отрезок прямой с началом в точке и концом в точке .
Решение.Изобразим на рисунке линию интегрирования.
|
Воспользуемся формулами параметрических уравнений прямой с направляющим вектором , проходящей через начальную точку с координатами :
Запишем параметрические уравнения прямой, которой принадлежит отрезок , приняв за направляющий вектор прямой вектор , т. е. .
Начальной точкой отрезка является точка . Следовательно, параметрические уравнения этой прямой:
Из полученных уравнений находим, что точке соответствует значение параметра , а точке значение .
По определению дифференциала
Учитывая, что и , подставляем в интеграл только значения и , а также значения параметра и , соответствующие началу и концу дуги
.
Пример.Вычислить , где —плоская кривая, являющаяся частью параболы от точки до точки .
Решение.Изобразим на рисунке линию интегрирования .
Воспользуемся формулой:
В данном случае соответствуют началу и окончанию пути интегрирования, , следовательно:
.
Формула Грина
Формула Грина устанавливает связь между двойным интегралом по области и криволинейным интегралом по контуру , ограничивающему эту область. Будем считать, что область является стандартной в направлении каждой координатной оси и снизу ограничена графиком функции (дугой ),сверху — графиком функции (дугой ),которые вместе составляют замкнутый контур .
Пусть в области и на ее границе заданы функции и непрерывные вместе со своими частными производными , ,тогда
,
где обход контура совершается в положительном направлении, т. е. против часовой стрелки (область остается слева). Следовательно,
. (1)
Аналогично получаем
, (2)
где обход контура также совершается в положительном направлении.
Вычитая почленно (1) из (2), получаем формулу Грина
.
Замечание 1. Если обход контура совершается в отрицательном направлении, т. е. по часовой стрелке (область остается справа), то формула Грина принимает вид
.
Замечание 2. Формула Грина дает возможность вычислять площадь области с помощью криволинейного интеграла. Действительно, если , , то формула Грина перепишется так:
,
откуда
, (3)
где обход контура совершается против часовой стрелки.
Пример.Определить с помощью криволинейного интеграла площадь, ограниченную эллипсом с полуосями и .
Решение. Запишем параметрические уравнения эллипса
.
Тогда
И по формуле (3) получим
.
Дата добавления: 2021-01-11; просмотров: 332;