Дуальные и двойные числа

(ассоциативные алгебры над полем действительных чисел размерности 2).

Опишем все ассоциативные алгебры над полем размерности 2.

Нетрудно устанавливается, что множества и образуют ассоциативные алгебры, которые договоримся называть алгебрам двойных чисел и дуальных чисел соответственно.

Теорема. Любая коммутативная ассоциативная алгебра с единицей над полем действительных чисел размерности 2 изоморфна одной из из алгебр , , .

Доказательство

Пусть , где - коммутативная ассоциативная алгебра с единицей . Рассмотрим . Нетрудно устанавливается, что изоморфно полю . Тогда, с точностью до изоморфизма, можно утверждать, что ( подполе поля А). Последнее означает, что в найдется элемент такой, что система образует базис алгебры над полем .

для некоторых .

. Возможны случаи:

1. . Существует положительное действительное число такое, что

Тогда - система порождающих в . Покажем, что - базис в . Предположим, что . Таким образом .

2. . Аналогично устанавливается, что - базис в . Следовательно, .

3. . Существует положительное действительное число такое, что

Тогда - система порождающих в . Аналогично устанавливается, что - базис в . Следовательно, .

Замечание. Наличие единицы позволяет включить в , а ассоциативность и коммутативность позволяют выполнять действия, указанные выше.

что и требовалось доказать.

Теорема. Алгебры , не являются полями.

Доказательство

Предположим, что элемент обратим. Тогда существует элемент такой, что . Последнее противоречит линейной независимости элементов . Следовательно, предположение об обратимости элемента оказывается ложным, а, значит, не является полем.

Аналогично устанавливается необратимость элемента . Тогда также не является полем.

что и требовалось доказать.

Теорема. Алгебры , существуют.

Доказательство

. Тогда , . Таким

образом .

. Тогда , . Таким

образом .

что и требовалось доказать.

Замечание. Алгебры , и являются подалгебрами алгебры .

Алгебра Кэли

(Неассоциативная альтернативная алгебра с делением).

, где .

На множестве зададим операции по следующим правилам:

для любых и .

Теорема. -восьмимерное линейное пространство над полем , базисом которого является следующая система: .

Замечание. .

Доказательство.

Покажем, что - линейное пространство над полем .

Сложение в коммутативно и ассоциативно в силу коммутативности и ассоциативности сложения в .

Нейтральный элемент по сложению в имеет вид: .

Противоположным к является элемент .

Таким образом - аддитивная Абелева группа, в которой для и однозначно определено умножение на скаляр , удовлетворяющее следующим аксиомам:

для любых и .

Согласно определению, - линейное пространство над полем .

По теореме о последовательном расширении полей, имеем

.

что и требовалось доказать.

Определим в умножение по следующему правилу:

, где - кватернионы, сопряженные к , .

Теорема. -восьмерная алгебра с делением над полем .

Доказательство.

Первоначально покажем, что алгебра не является ассоциативной.

. Рассмотрим кватернионы . не является ассоциативной.

Легко самостоятельно проверить, что в алгебре справедливы дистрибутивные законы: и ; умножение удовлетворяет следующему условию: для любых и ; - нейтральный элемент по умножению.

Определим в алгебре для элемента сопряженный элемент , где - сопряженный к в теле кватернионов. В справедливы следующие свойства:

для любых .

Нормой элемента договоримся называть . Причем

В справедливы следующие свойства:

1. т.т.т., к. ;

2. ;

3. ;

4. .

для любых .

Замечание.Из свойств т.т.т., к. и следует, что если , то либо , либо .

Согласно вышеприведенному замечанию, в алгебре отсутствуют делители нуля.

Убедимся, что алгебра с делением. Рассмотрим уравнение , где . Элемент является решением данного уравнения. Проверим это.

. Аналогично устанавливается, что элемент является решением данного уравнения , где .

что и требовалось доказать.

Определение.Алгебра над полем называется альтернативной, если выполняется следующие аксиомы:

для любых .

Теорема.Алгебра над полем является альтернативной.

Замечание. Алгебра над полем является альтернативной, но не ассоциативной. В классе всех альтернативных алгебр лежат и ассоциативные.