Метод узловых потенциалов (МУП)
МКТ основан на 1 зак. Кирхгофа.
Метод позволяет уменьшить количество уравнений системы до числа , где Ny – число узлов электрической схемы.
Сущность метода заключается в том, что сначала определяются потенциалы всех узлов схемы, а токи ветвей, соединяющих узлы, определяются с помощью законов Ома.
При составлении уравнений по МУП сначала полагают равным нулю потенциал какого-либо узла, для оставшихся составляют уравнения по I-му закону Кирхгофа.
Если в цепи некоторые узлы соединяются ветвями, не имеющими сопротивлений (они могут содержать источники напряжений), то число KI уравнений, составленных по МУП, уменьшается на Nн (число ветвей с нулевыми сопротивлениями).
- число уравнений по МУП.
Прежде, чем перейти к изложению самого метода, напомним, что в случае, когда между двумя узлами имеются несколько параллельных ветвей с источниками ЭДС (или без них), их можно привести к одной эквивалентной схеме.
Рис. 6.1.
Дальше будем предполагать, что , т.е. между узлами цепи не включены идеальные источники ЭДС.
(6.1)
Это представление эквивалентной схемой параллельных ветвей с источниками ЭДС даёт нам право без ограничения общности считать, что между любой парой узлов включена только одна ветвь.
Первое уравнение Кирхгофа для некоторого узла К можно записать:
(6.1)
Рис.6.2.
Между узлами К и m имеется ветвь с источниками ЭДС (EKm), сопротивлением ZKm, то ток в этой цепи (ветви), направленный от К к m связан соотношениями:
(6.2)
Первый закон Кирхгофа для рис.6.2. имеет вид (6.2).
Напряжение можно выразить через узловые напряжения и в виде:
.
Получаем:
или
Обозначив , где YKK – сумма проводимостей всех ветвей, присоединённых к К-ому узлу, имеем:
- что и является основным уравнением для К-ого узла по МУП.
В развёрнутой форме совокупность уравнений по МУП имеет вид:
Решая эту систему, найдём узловые напряжения, причём для К-ого узла величина будет:
,
где D - главный определитель системы, DmK – его алгебраическое дополнение.
После того, как узловые напряжения найдены, определения токов в ветвях цепи имеют вид:
Если в ветви содержатся ЭДС, то ток равен :
Метод узловых напряжений применяется к независимым узлам.
Если к К-ому узлу подтекает ток от источника тока, то он должен быть включен в ток IKK со знаком «+», если утекает, то со знаком «-».
Если между какими-либо двумя узлами нет ветви, то соответствующая проводимость равна 0.
Yii – собственная проводимость всех ветвей, подходящих к узлу i (всегда со знаком «+»).
Yiк – взаимная проводимость между узлами i и к (входит в уравнение всегда со знаком «-» при выбранном направлении всех узловых напряжений к базисному узлу).
Ток I1 называется узловым током 1-ого узла.
Это расчётная величина, равная алгебраической сумме токов, полученных от деления ЭДС ветвей, подходящих к 1-ому узлу, на сопротивления данных ветвей. В эту сумму со знаком «+» входят токи тех ветвей, ЭДС которых направлена к 1-ому узлу.
Y11 – проводимость всех ветвей, сходящихся в 1-ом узле.
Y12 – проводимость взаимная – равняется сумме проводимостей всех ветвей, соединяющих узел 1 с узлом 2 (берётся со знаком «-»).
В качестве примера составим уравнение по МУП для электрической цепи, изображённой на рис. 3
Задано:
и параметры всех элементов.
Расчёт цепи производим комплексным методом:
Для узлов 1, 2, 3 имеем уравнения:
(1)
Y11=Y12+Y10+Y13; Y22=Y20+Y12+Y23; Y33=Y30+Y13+Y23
Решив систему из 3-х уравнений относительно узловых напряжений, находим напряжения на ветвях и токи в них. Метод узловых напряжений применим к независимым контурам.
Положительное направление всех узловых напряжений принято считать к опорному узлу.
Раздел 7
Дата добавления: 2016-09-26; просмотров: 4755;