Глава 5. Пространства

В математике пространство определяется как множество однородных объектов (предметов, явлений, состояний, переменных и т. п.), между которыми имеются пространственно подобные отношения. Часто определяют пространство как кортеж , где – некоторое множество, а – отношения между его элементами. Иногда о пространстве говорят просто как о множестве , между элементами которого подразумеваются некоторые отношения.

Столь широкое понятие пространства сформировалось в результате абстрагирования и обобщения трехмерной эвклидовой геометрии.

Положение точки обычного трехмерного пространства в некоторой системе координат определяется тройкой чисел , называемых ее координатами (рис. 6). Каждой точке соотносится пространственный вектор, выходящий из начала координат и оканчивающийся в этой точке.
Рис. 6

Числа являются проекциями вектора на оси координат и называются компонентами (составляющими) вектора. Как и точка, вектор полностью определяется этой тройкой чисел, если строго соблюдается порядок их следования, т. е. . Итак, между точками и векторами пространства устанавливается взаимнооднозначное соответствие. Поэтому можно говорить о пространстве как о множестве точек или векторов. Так, многие физические величины (силы и скорости, напряженности электрического и магнитного полей и т. д.) представляются векторами, а различные фигуры удобно рассматривать как геометрические места точек, удовлетворяющих соответствующим соотношениям.

Действия над векторами сводятся к операциям над тройками чисел. Так, если и , то и . где – некоторое число (скаляр). Длина вектора . Расстояние между двумя точками пространства, соответствующими векторам и , есть длина вектора и, следовательно, Скалярное произведение двух векторов определяется соотношением где – угол между векторами и . Отсюда .

Единичные векторы (орты), совпадающие по направлению с координатными осями, выражаются соответственно как , , . Каждый вектор однозначно представляется через орты, которые образуют единичный базис в прямоугольной системе координат:

.

Формальное обобщение трехмерного пространства состоит в том, что в качестве вектора принимается любая упорядоченная последовательность чисел , называемая -мерным вектором или точкой многомерного пространства. Числа называют компонентами (составляющими, координатами) -мерного вектора, а множество таких векторов – числовым или точечным векторным пространством. Определяя соответствующим образом операции над векторами и задавая на множестве векторов отношения, подобные длине, расстоянию, углу и т. п. в обычном пространстве, получают специальные типы пространств.

До сих пор предполагалось, что количество составляющих вектора конечно и равно . Ничто не мешает сделать следующий важный шаг на пути расширения понятия пространства: не ограничивать количество составляющих векторов и считать векторами любые (конечные или бесконечные) числовые последовательности . Такими последовательностями выражаются, например, множество многочленов произвольной степени, ряды, различные разложения функций. Пространство, точки которого определяются бесконечными последовательностями, называется бесконечномерным пространством.

Более того, в качестве элементов пространства можно принять множество непрерывных функций на данном отрезке, совокупность всех решений дифференциального уравнения определенного типа и т. п. В подобных случаях функция представляется как точка в пространстве, а ее координатами служит бесконечное множество (мощности континуума) значений функции при всевозможных значениях аргумента . Пространства, элементами которых являются функции, называются функциональными пространствами.

Уже отмечалось, что в трехмерном пространстве с понятием вектора связываются различные физические величины, которые характеризуются числовым значением и направлением. Наряду с этим элементы пространства (векторы или точки) могут отождествляться с объектами любой физической природы. Например, в практике широко используется трехмерное цветовое пространство, векторы которого соответствуют цветовым ощущениям и определяются тремя компонентами – интенсивностями красного, зеленого и синего цветов.

Состояние физической системы описывается некоторой совокупностью переменных (токи и напряжения электрической цепи, температуры и концентрации веществ в химическом реакторе и т. п.). Каждое такое состояние можно представить вектором -мерного пространства, называемого пространством переменных состояния. В приведенных примерах объекты пространства характеризуются совокупностью чисел, и эти числа рассматриваются как составляющие соответствующих этим объектам векторов. Можно говорить об отображении множества объектов на множество векторов, но, в конечном счете, отношения между объектами пространства сводятся к отношениям на множестве векторов в числовых пространствах.

Но и в случаях, когда объекты характеризуются свойствами, которые не являются числами (форма, цвет, материал), совокупность таких объектов можно также рассматривать как векторное пространство. При этом свойства кодируются с помощью чисел или каких-либо символов, которые можно истолковать как составляющие векторов (объектов) пространства. Подобные коды используют для передачи сообщений, обработки различной информации с помощью вычислительных машин и т. п. В простейших случаях кодирование свойств объектов сводится к простой нумерации, и каждый объект рассматривается как совокупность номеров присущих ему свойств.

Рассмотрим два типа пространств, определяемых как пары ( ), где – множество объектов и – некоторое отношение на этом множестве.

Метрическое пространство – это пара ( ), где – отношение, называемое метрикой и определяющее расстояние между и так, что для любых : 1) , причем тогда и только тогда, когда ; 2) – симметричность; 3) – неравенство треугольника.

Расстояние между двумя -мерными векторами и , определенное как , обобщает понятие расстояния между точками обычного трехмерного пространства.

Топологическое пространство – это пара ( ), где – система подмножеств множества , называемая топологией в , которая содержит: 1) само множество и пустое множество , т. е. и ; 2) пересечение любой пары своих подмножеств, т. е. ; 3) объединение любого (конечного или бесконечного) множества своих подмножеств, т. е. . Из приведенного определения следует, что содержит также пересечение любого конечного множества своих подмножеств.

Множества, принадлежащие системе , называются открытыми множествами пространства ( ). Одно и то же множество может допускать несколько топологий и при этом получаются различные пространства. Всякое множество допускает тривиальную топологию, при которой открытыми множествами считаются только и (пространство слипшихся точек), а также дискретную топологию, когда открыто любое подмножество .

Множества , дополнительные к открытым, называются замкнутыми множествами топологического пространства. Из определения топологического пространства вытекает, что замкнутыми множествами являются: 1) и ; 2) объединение конечного числа замкнутых множеств; 3) пересечение любого (конечного или бесконечного) числа замкнутых множеств. Как видно, имеет место дуальность в определении открытых и замкнутых множеств топологического пространства.

Пусть – элементы из множества (векторы) и – элементы из поля (скаляры). Множество называется линейным пространством над полем , если на определены два закона композиции:

1) внутренний (аддитивный) , относительно которого , обладает свойствами: а) коммутативности, т. е. ; б) ассоциативности, т. е. ; в) имеет нейтральный элемент , такой, что ; г) имеет обратный элемент , такой, что ;

2) внешний закон такой, что (дистрибутивность относительно внутреннего закона – сложения векторов), (дистрибутивность относительно аддитивного закона поля – сложения скаляров), (ассоциативность относительно мультипликативного закона поля – умножения скаляров), ( – нейтральный элемент относительно умножения в поле ).

Линейное пространство называется действительным (комплексным), если скаляры в его определении берутся из поля действительных (комплексных) чисел. Так, обычные трехмерные векторы образуют действительное линейное пространство. Внутренним законом этого пространства является геометрическое сложение векторов, а внешним законом – умножение вектора на действительное число.

Любое поле можно интерпретировать как векторное пространство над самим собой ( ) со сложением в качестве внутреннего закона и умножением в качестве внешнего закона.

Линейное пространство называют также векторным пространством, независимо от природы элементов множества , на котором оно определено.

В -мерном векторном пространстве внутренней операцией является сумма векторов и :

.

Нейтральным элементом относительно сложения является нулевой вектор , а обратный к – вектор . Внешняя операция – произведение скаляра на вектор определяется как , в результате которой получается вектор той же размерности, что и исходный.

Линейное пространство над числовым (действительным или комплексным) полем называется евклидовым (действительным или комплексным) пространством, если в нем определена операция, называемая скалярным (или внутренним) произведением.

Скалярное произведение, обозначаемое , есть отображение , которое любой паре векторов и из ставит в соответствие число из поля . Оно удовлетворяет следующим аксиомам: 1) , где – комплексно сопряженное к ; 2) ; 3) – действительное неотрицательное число, обращающееся в нуль лишь в случае, когда – нулевой элемент.

Для комплексных -мерных векторов скалярное произведение определяется как , где – комплексно сопряженное к . В случае действительного пространства .

Через скалярное произведение вводятся: норма (длина) вектора , расстояние между и (метрика) и угол между двумя векторами

Норму вектора можно рассматривать как частный случай метрики при . В общем случае норма, приведенная к внешнему закону линейного пространства, определяется следующими условиями: 1) , причем только и если только ; 2) , где – абсолютное значение из поля ; 3) (неравенство треугольника).

Пространство, для всех векторов которого определена некоторая норма, называется нормированным пространством.

Вектор, норма (длина) которого равна единице, называется единичным. Два вектора и ортогональны , если , причем для таких векторов (теорема Пифагора).

Конечная совокупность векторов называется линейно-независимой, если соотношение , где скаляры из поля , имеет место только при . В случае, когда можно найти такую совокупность скаляров , что хотя бы при одном из них, не равном нулю, справедливо соотношение , векторы являются линейно-зависимыми (любой , для которого , выражается через другие). Так, четырехмерные векторы ; ; линейно-зависимы, так как при , и имеем

Совокупность независимых векторов , через которую выражается любой вектор , называется базисом линейного пространства. При этом говорят, что пространство порождено этим базисом, а его размерность (ранг) равна , что записывается как . Базис определяет в систему координат (систему отсчета). При этом числа ( ) являются координатами вектора (точки пространства). Разумеется, координаты одного и того же вектора в различных базисах могут быть различными.

Совокупность попарно-ортогональных единичных векторов таких, что (символ Кронекера при и при ), образует ортонормированную систему векторов. Число векторов в такой системе не может превышать размерности пространства ( ). Каждая ортонормированная система векторов в -мерном евклидовом пространстве образует ортонормированный базис.

Любой вектор может быть представлен в ортонормированном базисе как , где – его координаты в этом базисе. Умножив это равенство скалярно на , получим

,

так как при и .

Следовательно, координаты вектора в ортонормированном базисе выражаются соотношением при .

В -мерном пространстве существует ортогональный базис, состоящий из единичных векторов . Компоненты каждого вектора являются одновременно и координатами в системе координат, определяемой этим базисом, так как .