Исследование свойств функции с помощью производной

1. Монотонность функции: возрастание и убывание функции.

Монотонность функции характеризуется знаком её первой производной.

Функция на промежутке называется возрастающей, если в этом промежутке производная функции положительная (имеет знак плюс), т.е.

Функция на промежутке называется убывающей, если в этом промежутке производная функции отрицательная (имеет знак минус), т.е.

Критические точки это точки, принадлежащие области определения функции, в которых производная обращается в нуль или терпит разрыв, т.е.

1. Экстремумы функции: точки максимума и минимума.

Точка является точкой максимума, если при переходе через критическую точку производная функции меняет знак с «+» на «-».

Точка является точкой минимума, если при переходе через критическую точку производная функции меняет знак с «-» на «+».

Если при переходе через критическую точку производная не меняет знака, то функция не имеет экстремума.

Правило нахождения промежутков монотонности и точек экстремума:

1. Найти производную данной функции.

2. Найти критические точки (решить уравнение).

3. Найденные точки отметить на оси ОХ и найти знаки производной функции в промежутках.

4. По знакам производной сделать выводы о монотонности графика функции и точках экстремума.

5. Вычислить значение функции в точках экстремума и записать координаты полученных точек.

Пример 1. Найти промежутки монотонности и точки экстремума функции

Решение: (смотрим правило нахождения промежутков монотонности и точек экстремума)

, значит (0;1) – точка max

, значит (1;-2) – точка min

Функция возрастает при и убывает при

1. Выпуклость графика функции: выпуклость вверх и выпуклость вниз (вогнутость).

Выпуклость графика функции характеризуется знаком её второй производной.

Функция на промежутке выпукла вверх, если в этом промежутке вторая производная функции отрицательная (имеет знак минус), т.е.

Функция на промежутке выпукла вниз, если в этом промежутке вторая производная функции положительная (имеет знак плюс), т.е. .

Правило нахождения промежутков выпуклости:

1. Найти вторую производную данной функции.
2. Найти точки, в которых вторая производная равна нулю (решить уравнение).
3. Найденные точки отметить на оси ОХ и найти знаки второй производной функции в промежутках.
4. По знакам производной сделать выводы о направлениях выпуклости графика функции и точках перегиба.

Пример 2. Найти промежутки выпуклости графика функции

Решение: (смотрим правило нахождения промежутков выпуклости)

Функция выпукла вверх при и выпукла вниз при