Свободные электромагнитные колебания
Свободными (собственными) электромагнитными колебаниями называют такие, которые совершаются без внешнего воздействия за счет первоначально накопленной энергии.
Рассмотрим колебательный контур, состоящий из резистора R, катушки индуктивностиL и конденсатора С (рис. 14.1); сопротивлением проводов и возможным излучением электромагнитных волн пренебрегаем. Конденсатор ключом К заряжается от источ-
ника , а затем разряжается на резистор и катушку индуктивности. Приэтом в контуре возникает ЭДС самоиндукции ( которая, согласно закону Ома, будет равна сумме напряжений на элементах цепи: на резисторе UR = IR и конденсаторе Uc = q/c Поэтомуnзапишем
Преобразуем это уравнение, поделив все члены на L
Это есть дифференциальное уравнение свободных электромагнитных колебаний. Произведя замены:
получим уравнение
Незатухающие колебания. Если контур не содержит резистора (рис. 14.2), то из (14.4) имеем:
Известно, что (14.5) является дифференциальным уравнением гармонического колебания, его решение [см. (5.8)] имеет вид
где qm — наибольший (начальный) заряд на обкладках конденсатора, ω0 — круговая частота собственных колебаний (собственная круговая частота) контура, φ0 — начальная фаза.
Графики зависимости заряда (напряжения) от времени аналогичны графику зависимости смещения x(t), а график зависимости силы тока от времени — графику скорости v (t) (см. рис. 5.4).
Из (14.3) найдем выражение для периода собственных колебаний (формула Томсона):
Затухающие колебания.При наличии резистора (рис. 14.1) процесс в контуре описывается уравнением (14.4), которое аналогично уравнению (5.19) для механических колебаний. При условии, что затухание не слишком велико, находим следующее решение [см.
(5.20)]:
Неравенство (14.12) выполняется, в частности, в контуре при отсутствии индуктивности (L → 0). Для этого случая (разряд конденсатора на резистор) из (14.1) имеем
Интегрируя последнее уравнение, находим
Потенцируя второе из выражений (14.14), имеем
Уравнение (14.15) описывает процесс разрядки конденсатора С на резистор R. При отсутствии индуктивности колебания не возникают (рис. 14.3, а). По такому закону изменяется и напряжение на обкладках конденсатора. Теоретически такой процесс, как это следует из (14.15), протекает бесконечно долго, однако принято длительность подобных процессов оценивать временем, в течение которого параметр, характеризующий процесс (в данном случае заряд и напряжение), уменьшится в е раз (постоянная времени, τ).
Выражение для постоянной времени можно получить из (14.15),
если вместо q подставить qm/e , a t заменить на τ: откуда для контура с конденсатором и резистором постоянная времени равна
Можно показать, что зарядка конденсатора от источника постоянной ЭДС также происходит по экспоненциальному закону
График этой зависимости представлен на рис. 14.3,6.
Переменный ток
В широком смысле слова переменный ток — любой ток, изменяющийся со временем. Однако чаще термин «переменный ток» применяют к квазистационарным токам, зависящим от времени по гармоническому закону.
Квазистационарным называют такой ток, для которого время установления одинакового значения по всей цепи значительно меньше периода колебаний.
Будем считать, что для квазистационарных токов, так же как и для постоянных, сила тока одновременно одинакова в любом сечении неразветвленного проводника. Для них справедлив закон Ома, однако сопротивление цепи зависит от частоты изменения тока. Потерями энергии на электромагнитное излучение этих токов пренебрегаем. Переменный ток можно рассматривать как вынужденные электромагнитные колебания.
Представим три разных цепи (рис. 14.4, а — 14.6, а), к каждой из которых приложено переменное напряжение
где Um — амплитудное значение напряжения, ю — круговая частота колебаний.
Для цепи с резистором (рис. 14.4, а) выражение (14.18) запишем в форме
Используя закон Ома, получим выражение для тока через сопротивление R:
где
-амплитуда тока. Как видно из (14.19) и (14.20), ток и напряжение при этом изменяются в одной фазе, что можно изобразить с помощью векторной диаграммы (рис. 14.4, б). На диаграмме амплитуды URm и Iт представлены как одинаково направленные векторы, равномерно вращающиеся против часовой стрелки с угловой скоростью ω. Проекция этих векторов на «ось токов» (горизонтальная прямая) дает мгновенные значения напряжения и тока. В цепи с сопротивлением R (омическим сопротивлением) происходит выделение тепла.
Цепь, представленная на рис. 14.5, а, содержит катушку с индуктивностью L, омическое сопротивление равно нулю.
Для этой цепи выражение (14.18) запишем в форме
При приложении переменного напряжения UL в катушке возникает противоположно направленная ЭДС самоиндукции , при этом, согласно закону Ома, UL = ξi.Подставляя (14.23) в (14.22), имеем
Постоянный член в (14.25) равен нулю, так как в цепи действует только переменное напряжение и нет причин для появления постоянной составляющей тока. Окончательно получаем
— амплитуда тока. Как видно из (14.26) и (14.22), фаза тока (ωt - π/2), а напряжения — ωt. Следовательно, ток отстает по фазе от напряжения на π/2, что показано на векторной диаграмме рис. 14.5, б.
Сравнивая (14.27) с законом Ома, заметим, что выражение
играет роль сопротивления цепи, которое называют индуктивным. Это сопротивление вместе с ULm определяет силу тока: чем больше частота со и индуктивность L, тем меньше Im.
При чисто индуктивном сопротивлении теплота в цепи не выделяется, так как R = 0. Роль индуктивности сводится к накоплению энергии магнитного поля и возвращению этой энергии обратно источнику тока. Таким образом, происходит периодическая перекачка энергии от источника в цепь и от цепи к источнику, в идеальном случае без потерь энергии.
В цепи, в которой имеется только конденсатор с электроемкостью С (рис. 14.6 а), омическое сопротивление всюду, кроме емкости, и индуктивность цепи равны нулю. Омическое сопротивление R конденсатора для постоянного тока бесконечно велико. Напряжение на конденсаторе выражается зависимостью:
Ток в цепи будет определяться скоростью изменения заряда на обкладках конденсатора. Используя соотношение для электроемкости, найдем
На основании (14.29) запишем
где
— амплитуда тока. Как видно из (14.31) и (14.29), фаза тока (ωt+ π/2), а фаза напряжения — ωt. Следовательно, ток опережает напряжение на π/2, что показано на векторной диаграмме (рис. 14.6, б).
Сравнивая (14.32) с законом Ома, заметим, что выражение
играет роль сопротивления цепи, которое называют емкостным. Оно определяет амплитуду тока: чем меньше емкость С и частота со, тем меньше Im. Для постоянного тока (ω = 0) емкость является бесконечно большим сопротивлением, и тока в такой цепи не будет. Заметим, что отсутствие конденсатора в цепях с резистором или индуктивностью формально означало не С = 0, т. е. С→о.
Вцепи с конденсатором теплота не выделяется, так как омическое сопротивление проводников равно нулю (нагревание диэлектрика в переменном электрическом поле здесь не учитывается, оно будет рассмотрено позже). Роль емкости сводится к накоплению энергии электрического поля конденсатора и возвращению этой энергии обратно источнику тока. Происходит периодическая перекачка энергии от источника в цепь и от цепи к источнику, в идеальном случае без потерь энергии.
Из формул (14.28) и (14.33) можно убедиться, что индуктивное и емкостное сопротивление в СИ измеряются в омах.
Дата добавления: 2020-11-18; просмотров: 282;