Равновесие несжимаемой жидкости

Течение идеальной жидкости.

В покоящейся жидкости и уравнение Эйлера и описывает условия равновесия:

.

Рассмотрим простейшие примеры решения этого уравнения.

а) Несжимаемая жидкость покоится в однородном поле тяжести . Определить давление в жидкости.

В системе координат OXYZ, в которой ось OZ направлена вертикально вниз , уравнения Эйлера имеют вид:

, , .

Решение системы тривиально и имеет вид:

.

б) Определить равновесную форму поверхности жидкости, вращающейся как твердое тело с угловой скоростью и давление внутри жидкости. Определить силу, действующую на небольшое тело, вращающееся вместе с жидкостью.

Для определения равновесия жидкости, вращающейся в однородном поле тяжести, воспользуемся уравнением Эйлера

.

Мы рассматриваем стационарное течение, поэтому . Распределение скоростей течения жидкости – твердотельное , ускорение свободного падения постоянно - и плотность жидкости постоянна .

При твердотельном вращении

,

,

и уравнение Эйлера можно привести к виду:

.

Выберем систему координат так, чтобы поверхность жидкости, вращающейся вокруг вертикальной оси OZ проходила через начало координат, так что давление в этой точке равно атмосферному: . Интегрирование уравнения Эйлера при таком условии дает:

,

или, учитывая зависимость величины скорости от координат:

.

Для определение выталкивающей силы т. е. суммы поверхностных сил, действующих на тело, необходимо вычислить интеграл:

.

Преобразуя поверхностный интеграл к объемному и выполняя интегрирование (по теореме о среднем), для малого объема получим:

.