ОПРЕДЕЛИМЫХ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМАХ
ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ ДЕФОРМАЦИИ
СТЕРЖНЕВОЙ СИСТЕМЫ
Любая конструкция при действии внешних сил деформируется. Для проверки жесткости конструкции необходимо определять перемещения, обусловленные деформациями ее элементов.
В основе классических методов строительной механики лежит понятие линейно-деформируемой упругой системы (конструкции). Перемещения в такой системе линейно зависят от внешних обобщенных сил :
. (1.2.1)
Здесь - перемещение точки “k” системы по определенному направлению от внешних сил ; - то же от силы .
В процессе деформирования упругой системы внешние и внутренние силы системы совершают работу. При статическом действии внешних сил их работа вычисляется по формуле
. (1.2.2)
Далее будут рассматриваться только плоские стержневые системы, нагруженные в их плоскости. В стержнях таких систем в общем случае действуют, как известно, три внутренние силы: продольная сила ; поперечная сила и изгибающий момент . Их работа определяется по формуле
. (1.2.3)
Здесь - жесткости стержней соответственно при растяжении-сжатии, сдвиге и изгибе; - дифференциал локальной координаты на каждом участке конструкции; суммы берутся по всем участкам конструкции.
Потенциальная энергия деформации любой упругой системы равна работе внутренних сил, взятой с обратным знаком: . Для плоской стержневой системы из формулы (1.2.3) следует:
. (1.2.4)
Выражение для нелинейно зависит от внутренних сил . Поэтому к нему нельзя применить принцип независимости действия сил, т. е. потенциальная энергия деформации от внешних сил не равна сумме от каждой силы в отдельности.
Практика расчетов стержневых систем показала, что в таких конструкциях, как балки, рамы и арки, перемещения в основном обусловлены изгибом стержней. Для таких конструкций в формуле (1.2.4) можно учитывать только последнее слагаемое:
. (1.2.5)
Для ферм следует брать слагаемое, содержащее продольные силы ( и в стержнях ферм согласно общепринятой расчетной схеме считаются равными нулю):
. (1.2.6)
Здесь - длина стержня. Сумма берется по всем стержням фермы. Второе слагаемое формулы (1.2.4) (вместе с третьим слагаемым) следует учитывать только при весьма коротких стержнях конструкции: ; - высота поперечного сечения стержня.
ТЕОРЕМА КАСТИЛИАНО
Формулировка теоремы. Частная производная от потенциальной энергии деформации упругой системы по некоторой внешней обобщенной силе равна обобщенному перемещению в направлении этой силы:
. (1.2.7)
Доказательство теоремы. Пусть - потенциальная энергия деформации системы от внешних обобщенных сил , представленная как функция этих сил: ). Зададим некоторой силе бесконечно малое приращение и найдем потенциальную энергию деформации системы с учетом этого приращения:
. (1.2.8)
Изменим порядок приложения сил. Сначала к системе приложим только силу и найдем потенциальную энергию деформации от этой силы:
. (1.2.9)
Здесь - бесконечно малое перемещение от силы в направлении этой силы. Затем приложим к системе все остальные силы . Потенциальная энергия деформации системы после этого будет такой:
. (1.2.10)
Последнее слагаемое в (1.2.10) представляет работу силы на перемещении от сил . Так как , то
. (1.2.11)
Из выражения (1.2.11) после отбрасывания слагаемого , имеющего второй прядок малости, следует:
, (1.2.12)
что и требовалось доказать.
Теорема Кастилиано позволяет определить перемещение в направлении любой имеющейся силы . Если же в направлении искомого перемещения силы нет, то необходимо в направлении добавить некоторую фиктивную силу и определить с учетом этой силы. Далее по теореме Кастилиано определяется , после чего полагается :
. (1.2.13)
Найдем прогиб свободного конца консольной балки от распределенной нагрузки (рис. 1.16) при постоянной жесткости . Так как в направлении сосредоточенной силы нет, то прикладываем в этом направлении фиктивную силу и находим потенциальную энергию деформации балки с учетом этой силы:
По теореме Кастилиано получаем
.
ФОРМУЛА МОРА
С помощью теоремы Кастилиано можно получить удобную в практическом использовании формулу для вычисления перемещений в стержневых системах, называемую формулой Мора. Ранее отмечалось, что в таких конструкциях, как балки, рамы и арки, перемещения в основном обусловлены изгибом стержней. В этом случае потенциальную энергию деформации можно определять только с учетом изгибающих моментов :
. (1.2.14)
Требуется определить перемещение некоторой точки “k” конструкции по направлению от заданной нагрузки (рис. 1.17). Для этого в направлении искомого перемещения добавим фиктивную силу и определим потенциальную энергию деформации конструкции с учетом данной силы:
. (1.2.15)
Здесь - изгибающие моменты в стержнях конструкции от силы . В упругой конструкции моменты линейно зависят от силы : , где - изгибающие моменты от силы . Выражение (1.2.15) после этого примет вид
. (1.2.16)
По теореме Кастилиано
. (1.2.17)
Это дает формулу Мора
. (1.2.18)
Для нахождения перемещения по данной формуле необходимо:
а) определить функции на каждом участке конструкции от заданной нагрузки;
б) определить функции на каждом участке конструкции от силы в направлении искомого перемещения ;
в) вычислить интегралы Мора по участкам конструкции;
г) просуммировать полученные интегралы.
Примечание. По формуле Мора можно определять как линейные перемещения, так и углы поворота поперечных сечений стержней конструкции. В последнем случае изгибающие моменты находятся от момента , приложенного в сечении, где определяется угол поворота.
Применим формулу Мора для определения прогиба прежней балки (рис. 1.18). Изгибающие моменты и необходимо представить как функции координаты произвольного сечения балки: . Определяем прогиб :
.
Полученный результат совпадает с тем, что был найден по теореме Кастилиано.
ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ МОРА
ПО ПРАВИЛУ ВЕРЕЩАГИНА
Правило Верещагина применяется для вычисления интегралов Мора на прямолинейных участках конструкции, имеющих постоянную жесткость . Рассмотрим прямолинейный участок AB (рис. 1.19). Изгибающий момент на таком участке является линейной функцией локальной координаты : , где и - некоторые постоянные. Вычислим интеграл Мора:
. (1.2.19)
Определенные интегралы в правой части данного выражения имеют известный геометрический смысл: - площадь эпюры на участке AB; - статический момент площади относительно начала участка AB ( - абсцисса центра тяжести эпюры ). С учетом этого получаем
Так как , то - ордината эпюры под центром тяжести эпюры . Таким образом, получаем правило Верещагина для вычисления интегралов Мора:
. (1.2.20)
Из выражения (1.2.20) видно, что для вычисления интеграла Мора по правилу Верещагина необходимо иметь площадь эпюры и положение ее центра тяжести. Эти данные легко определяются только для некоторых простых эпюр. Если эпюра является сложной, то ее можно разбить на несколько простых эпюр так (рис. 1.20), чтобы площадь и положение центра тяжести каждой из них легко определялись. Тогда правило Верещагина можно применить к каждой простой эпюре, и затем просуммировать полученные результаты.
СПРАВОЧНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ
ИНТЕГРАЛОВ МОРА
С помощью правила Верещагина или путем непосредственного интегрирования можно получить формулы для вычисления интегралов Мора от произведения часто встречающихся эпюр и . Ниже приведены четыре основные справочные формулы (рис. 1.21).
Пример. Определить прогиб статически определимой балки (рис. 1.22а). Исходные данные:
Решение.
Определяем реакции опор:
Находим изгибающие моменты на участках балки.
Участок AB: .
Участок BC: .
Участок ED: .
Участок DC: .
По полученным результатам строим эпюру (рис. 1.22б). Для определения прикладываем в точке E силу и строим от нее эпюру (рис. 1.22в) при движении с правого конца балки (в этом случае реакции опор от силы можно не определять). Определяем , вычисляя интегралы Мора на участках балки по приведенным выше справочным формулам:
Знак “-“ в результате означает, что точка E балки перемещается противоположно силе , т.е. вверх.
Дата добавления: 2016-07-27; просмотров: 2658;