Промежутки знакопостоянства функции. Нули функции
Числовые промежутки, на которых функция сохраняет свой знак (т.е. или ) называются промежутками знакопостоянства.
Значения аргумента при которых , называются нулями функции. Нули функции – это точки пересечения графика функции с осью Ох.
Пример 1.Найти область определения функции
Решение.
: (1)
Найдем соответствующее множество точек.
Неравенство равносильно неравенству
. Решая его, получаем (рис.1)
.
Условие
Рис.1
означает, что
, т.е. .
Приходим к заключению, что
. Получаем .
Таким образом система (1) равносильна системе
Значит .
Пример 2.Найти множество значений функции
Решение.
Найдем область определения функции.
: ;
;
.
Последнее условие выполняется только для . Вычисляем значение функции в этой точке: .
Значит .
Пример 3.Исследовать функцию на четность:
1) 2) 3)
Решение.
1. Замечаем, что для функция имеет . Значит, функция определена на симметричном множестве.
Рассмотрим ее значение для :
Поскольку выполняются оба условия четной функции, заключаем, что функция – четная.
2. Функция имеет .
Так как не является симметричным множеством, второе условие проверять нет необходимости. Эта функция не обладает свойством четности.
3. Очевидно, что функция имеет , т.е. определена на симметричном множестве и для нее
.
Оба условия нечетной функции выполняются, а потому данная функция является нечетной.
Пример 4.Пусть где . Причем, функция имеет период 2. Построить ее график.
Решение.
Построим график данной функции на (рис. 2).
Рис. 2
Исходя из определения периодической функции должно выполняться условие: , где .
Строим ее график, продолжая по периоду (рис. 3).
Рис. 3
Пример 5.Используя определение монотонной функции, найти значения а, при которых функция где монотонно возрастает.
Решение.Пусть . Функция монотонно возрастает, если выполняется или . Это означает, что
Поскольку , последнее неравенство выполняется, если , т.е .
Таким образом, функция возрастает для .
Пример 6.Дана функция
Определить промежутки знакопостоянства функции, нули функции. Построить график данной функции.
Решение. Так как на каждом из данных промежутков аналитические выражения, задающие функцию, определены в каждой точке, следовательно .
1. Исследуем функцию при . На данном промежутке функция принимает значение равное 1, т.е. она знакоположительна и нулей функции нет.
2. Пусть .
При таком условии функция задается формулой и . Функция знакоположительна. Здесь она имеет нуль .
3. Пусть .
Очевидно, что при этом условии , т.к. . Нулей функции на этом промежутке нет.
Построим график:
Если , строим часть прямой линии ;
Если – часть параболы ;
Если – часть прямой
Получили график заданной функции (рис.4).
Рис. 4
Таким образом, функция знакоположительна ; имеет нуль .
Задания
I уровень
1.1. Найдите область определения функции:
1) 2)
1.2. Исследуйте функцию на свойство четности:
1) 2)
1.3. Найдите множество значений функции
1.4. Для функции определите промежутки монотонности, нули, промежутки знакопостоянства. Постройте график функции.
II уровень
2.1. Найдите ОДЗ функции:
1) 2)
2.2. Найдите множество значений функции:
1) 2)
2.3. Задайте функцию аналитически:
1) линейную, если
2) квадратичную, если
2.4. Исследуйте функцию на четность:
1) 2)
2.5. Докажите, что функция:
1) убывает на
2) возрастает на
2.6. Исследуйте функцию на монотонность.
2.7. Пусть
Известно, что имеет период Т = 4. Постройте график функции.
III уровень
3.1. Исследуйте функцию на четность. Найдите ее нули:
1) 2)
3.2. Найдите нули функции, промежутки знакопостоянства, промежутки монотонности:
Постройте график.
3.3. Дана функция Найдите промежуток на котором она убывает.
3.4. Определите, при каком а функция является периодической.
3.5. Найдите если:
1) 2)
3.6. Определите, при каком значении аргумента значение функции равно –1.
3.7. Определите при каких значениях х график функции расположен выше графика функции
Дата добавления: 2016-07-27; просмотров: 11569;