Промежутки знакопостоянства функции. Нули функции

Числовые промежутки, на которых функция сохраняет свой знак (т.е. или ) называются промежутками знакопостоянства.

Значения аргумента при которых , называются нулями функции. Нули функции – это точки пересечения графика функции с осью Ох.

Пример 1.Найти область определения функции

Решение.

: (1)

Найдем соответствующее множество точек.

Неравенство равносильно неравенству

. Решая его, получаем (рис.1)

.

Условие

Рис.1

означает, что

, т.е. .

Приходим к заключению, что

. Получаем .

Таким образом система (1) равносильна системе

Значит .

Пример 2.Найти множество значений функции

Решение.

Найдем область определения функции.

: ;

;

.

Последнее условие выполняется только для . Вычисляем значение функции в этой точке: .

Значит .

Пример 3.Исследовать функцию на четность:

1) 2) 3)

Решение.

1. Замечаем, что для функция имеет . Значит, функция определена на симметричном множестве.

Рассмотрим ее значение для :

Поскольку выполняются оба условия четной функции, заключаем, что функция – четная.

2. Функция имеет .

Так как не является симметричным множеством, второе условие проверять нет необходимости. Эта функция не обладает свойством четности.

3. Очевидно, что функция имеет , т.е. определена на симметричном множестве и для нее

.

Оба условия нечетной функции выполняются, а потому данная функция является нечетной.

Пример 4.Пусть где . Причем, функция имеет период 2. Построить ее график.

Решение.

Построим график данной функции на (рис. 2).

Рис. 2

Исходя из определения периодической функции должно выполняться условие: , где .

Строим ее график, продолжая по периоду (рис. 3).

Рис. 3

Пример 5.Используя определение монотонной функции, найти значения а, при которых функция где монотонно возрастает.

Решение.Пусть . Функция монотонно возрастает, если выполняется или . Это означает, что

Поскольку , последнее неравенство выполняется, если , т.е .

Таким образом, функция возрастает для .

Пример 6.Дана функция

Определить промежутки знакопостоянства функции, нули функции. Построить график данной функции.

Решение. Так как на каждом из данных промежутков аналитические выражения, задающие функцию, определены в каждой точке, следовательно .

1. Исследуем функцию при . На данном промежутке функция принимает значение равное 1, т.е. она знакоположительна и нулей функции нет.

2. Пусть .

При таком условии функция задается формулой и . Функция знакоположительна. Здесь она имеет нуль .

3. Пусть .

Очевидно, что при этом условии , т.к. . Нулей функции на этом промежутке нет.

Построим график:

Если , строим часть прямой линии ;

Если – часть параболы ;

Если – часть прямой

Получили график заданной функции (рис.4).

Рис. 4

Таким образом, функция знакоположительна ; имеет нуль .

Задания

I уровень

1.1. Найдите область определения функции:

1) 2)

1.2. Исследуйте функцию на свойство четности:

1) 2)

1.3. Найдите множество значений функции

1.4. Для функции определите промежутки монотонности, нули, промежутки знакопостоянства. Постройте график функции.

II уровень

2.1. Найдите ОДЗ функции:

1) 2)

2.2. Найдите множество значений функции:

1) 2)

2.3. Задайте функцию аналитически:

1) линейную, если

2) квадратичную, если

2.4. Исследуйте функцию на четность:

1) 2)

2.5. Докажите, что функция:

1) убывает на

2) возрастает на

2.6. Исследуйте функцию на монотонность.

2.7. Пусть

Известно, что имеет период Т = 4. Постройте график функции.

III уровень

3.1. Исследуйте функцию на четность. Найдите ее нули:

1) 2)

3.2. Найдите нули функции, промежутки знакопостоянства, промежутки монотонности:

Постройте график.

3.3. Дана функция Найдите промежуток на котором она убывает.

3.4. Определите, при каком а функция является периодической.

3.5. Найдите если:

1) 2)

3.6. Определите, при каком значении аргумента значение функции равно –1.

3.7. Определите при каких значениях х график функции расположен выше графика функции