Задания для самостоятельного решения

I уровень

1.1. Диагональ правильной четырехугольной призмы равна 25см, а диагональ ее боковой грани 20см. Найдите высоту призмы.

1.2. Сечение железнодорожной насыпи имеет вид трапеции, нижнее основание которой 14 м, верхнее 8 м и высота 3,2 м. Определите, сколько кубических метров земли приходится на 1 км насыпи.

1.3. В наклонной треугольной призме проведено сечение перпендикулярное боковому ребру равному 12 см. В полученном треугольнике две стороны с длинами см и 8 см образуют угол 45°. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

1.4. Основанием прямого параллелепипеда является ромб со стороной 4 см и острым углом 60°. Найдите диагонали параллелепипеда, если длина бокового ребра 10 см.

1.5. Основанием прямого параллелепипеда является квадрат с диагональю, равной см . Боковое ребро параллелепипеда 5 см. Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда.

1.6. Основанием наклонного параллелепипеда является прямоугольник со сторонами 3 см и 4 см. Боковое ребро равное см наклонено к плоскости основания под углом 60°. Найдите объем параллелепипеда.

1.7. Вычислите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда, если два ребра и диагональ, исходящие из одной вершины, равны соответственно 11 см, см и 13 см.

1.8. Определите вес каменной колонны, имеющей форму прямоугольного параллелепипеда, с размерами 0,3 м, 0,3 м и 2,5 м, если удельный вес материала равен 2,2 г/см³.

1.9. Найдите площадь диагонального сечения куба, если диагональ его грани равна дм.

1.10. Найдите объем куба, если расстояние между двумя его вершинами, не лежащими в одной грани, равно см.

II уровень

2.1. Основанием наклонной призмы является равносторонний треугольник со стороной см. Боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 30°. Найдите площадь сечения призмы, проходящего через боковое ребро и высоту призмы, если известно, что одна из вершин верхнего основания проектируется на середину стороны нижнего основания.

2.2. Основанием наклонной призмы является равносторонний треугольник ABC со стороной равной 3 см. Вершина A₁ проектируется в центр треугольника ABC. Ребро AA₁ составляет с плоскостью основания угол 45°. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

2.3. Вычислите объем наклонной треугольной призмы, если стороны основания 7 см, 5 см и 8 см, а высота призмы равна меньшей высоте треугольника-основания.

2.4. Диагональ правильной четырехугольной призмы наклонена к боковой грани под углом 30°. Найдите угол наклона к плоскости основания.

2.5. Основанием прямой призмы является равнобедренная трапеция, основания которой равны 4 см и 14 см, а диагональ – 15 см. Две боковые грани призмы – квадраты. Найдите площадь полной поверхности призмы.

2.6. Диагонали правильной шестиугольной призмы равны 19см и 21 см. Найдите ее объем.

2.7. Найдите измерения прямоугольного параллелепипеда, у которого диагональ равна 8 дм, и она образует с боковыми гранями углы 30° и 40°.

2.8. Диагонали основания прямого параллелепипеда равны 34 см и 38 см, а площади боковых граней 800 см² и 1200 см². Найдите объем параллелепипеда.

2.9. Определите объем прямоугольного параллелепипеда, в котором диагонали боковых граней, выходящие из одной вершины, равны 4 см и 5 см и образуют угол в 60°.

2.10. Найдите объем куба, если расстояние от его диагонали до непересекающегося с ней ребра равно мм.

III уровень

3.1. В правильной треугольной призме проведено сечение через сторону основания и середину противоположного бокового ребра. Площадь основания 18 см², а диагональ боковой грани наклонена к основанию под углом 60°. Найдите площадь сечения.

3.2. В основании призмы лежит квадрат ABCD, все вершины которого равноудалены от вершины A₁ верхнего основания. Угол между боковым ребром и плоскостью основания равен 60°. Сторона основания 12 см. Постройте сечение призмы плоскостью, проходя через вершину C, перпендикулярно ребру AA₁ и найти его площадь.

3.3. Основанием прямой призмы является равнобедренная трапеция. Площадь диагонального сечения и площади параллельных боковых граней соответственно равны 320 см², 176 см² и 336 см². Найдите площадь боковой поверхности призмы.

3.4. Площадь основания прямой треугольной призмы равна 9см², площади боковых граней 18 см², 20 см² и 34 см². Найдите объем призмы.

3.5. Найдите диагонали прямоугольного параллелепипеда, зная, что диагонали его граней равны 11 см, 19 см и 20 см.

3.6. Углы, образованные диагональю основания прямоугольного параллелепипеда со стороной основания и диагональю параллелепипеда, равны соответственно a и b. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда, если его диагональ равна d.

3.7. Площадь того сечения куба, которое представляет собой правильный шестиугольник, равна см². Найдите площадь поверхности куба.

3.8. Измерения одного прямоугольного параллелепипеда относятся, как 3:5:6, а измерения второго – как 3:6:7. Зная, что их площади полных поверхностей относятся, как 7:9, найдите отношения объемов.

3.9. Основанием наклонного параллелепипеда является ромб со стороной равной b и углом в 60°. Боковое ребро также равно b и образует с прилежащими сторонами основания углы по 45°. Найдите объем параллелепипеда.