Форматы представления чисел

Формат чисел определяет возможную длину (количество битов) и форму представления чисел.

С точки зрения длины представления чисел различают байт, полуслово, слово, двойное слово и расширенное слово. Слово отображает содержимое одной из n-разрядных ячеек памяти или одного из n-разрядных регистров. Поэтому, во-первых, слово обычно характеризует внешнее представление исходных и конечных чисел, а, во-вторых, длина слова равна n битам. Двойное слово отображает содержимое пары соседних n-разрядных ячеек памяти или регистров, поэтому характеризует представление чисел с удвоенной точностью. Расширенное слово отображает содержимое k-разрядного аккумулятора или выходного регистра и характеризует внутреннее представление чисел – результатов промежуточных и конечных вычислений. Длина расширенного слова в зависимости от архитектуры процессора, формы представления чисел и назначения регистра равна k > 2n или n < k < 2n битам. Байт и полуслово отображают соответствующие части содержимого ячейки памяти или регистра.

Соответственно двум алгебраическим формам записи вещественных чисел – обычной и показательной – различают две формы представления чисел: с фиксированной точкой (ФТ) и с плавающей точкой (ПТ).

Представление двоичных вещественных чисел в форме с ФТ означает, что как для целой, так и дробной части отведено фиксированное число разрядов. То есть местоположение точки, отделяющей целую и дробную части числа, всегда одинаково. Представление двоичных целых чисел в форме с ФТ означает, что точка по существу отсутствует. Достоинством формы с ФТ является простота реализации арифметических операций, а недостатком – ограниченный динамический диапазон. Динамическим диапазоном называют отношение самого большого к самому малому по модулю (но отличным от нуля) чисел, которые можно представить с помощью данной формы. Для формы с ФТ это отношение равно 2^n-1–1.

В общем случае двоичные вещественные числа в форме с ПТ представляются в виде х = m×2^Р, где m – мантисса (вещественное двоичное число со знаком, представленное в форме с ФТ); Р – порядок (целое двоичное число со знаком); 2 – основание двоичной системы счисления. Однако присутствие двух параметров m и Р приводят к неоднозначности представления чисел: одно и то же число можно представить по-разному, например 2 = 2×2⁰ или 2 = 1×2¹ и т.д. Поэтому и для упрощения арифметики чисел с ПТ применяют нормализованные формы чисел с ПТ. В цифровой технике часто используется нормализованная форма, в которой целая часть мантиссы всегда равна нулю, а первая значащая цифра дробной части отлична от нуля. То есть мантисса ограничена значениями 0,5 £ |m| < 1. В цифровых процессорах обработки сигналов на представление чисел с ПТ принят единый промышленный стандарт IEEE 754, разработанный в Институте инженеров по электротехнике и электронике (Institute of Electrical and Electronics Engineers) в США в 1985 году. Согласно этому стандарту мантисса всегда (за исключением числа 0) содержит 1 в целой части, т.е. ограничивается значениями 1 £ |m| < 2: х = (-1)^S×2^р×1,f, где S – знак числа; m = 1,f и 1 – целая часть мантиссы (неявно присутствующая), а f – дробная часть мантиссы; р = (Р+bias) – смещенный порядок (целое положительное число) и bias – смещение (целая положительная константа, значение которой выбирается так, чтобы смещенный порядок р всегда имел положительное значение). Динамический диапазон чисел в форме с ПТ равен bin(2^k+1–2), где bin(z) = 2^z, а k – разрядность порядка.