Сводные индексы. Агрегатная форма сводного индекса

Сводные индексы вычисляются по товарным группам и нескольким видам продукции. Сводные индексы могут быть представлены в трех формах: агрегатной, средней арифметической и средней гармонической.

Исходной и основной формой сводного индекса является агрегатная; средние индексы получаются в результате ее преобразования.В агрегатной формуле сводного индекса присутствуют два элемента:

Индексируемая величина, изменение которой показывает индекс (например, цена p);

Некоторая постоянная величин, называемая весом индекса (например q), с помощью которого несоизмеримые элементы сложного социально-экономического явления приводятся к сопоставимому виду. В числителе и знаменателе агрегатной формы находятся суммы произведений двух величин, одна из которых – индексируемая, другая постоянная (вес).

Различают индексы количественных и индексы качественных показателей. К количественным относятся показатели, харктеризующиефизические размеры явления (объемы продукции, численность работников, объем фондов и т.д.; при этом используются простые единицы измерения (метры, кг, штуки, руб.)).Качественный показатель используется для экономической (качественной) характеристики количественной единицы совокупности. Это цена за единицу товара, себестоимость едицы продукции, фондоотдача (единица измерения сложная – руб./ шт., руб./руб. и т. д.).

Индексы качественных показателей строятся с весами отчетного периода, а индексы количественных показателей строятся с весами базисного периода. Такое построения индексов позволяет получать систему взаимосвязанных индексов и проводить по ней анализ влияния отдельных факторов на изменение результативных показателей.

Рассмотрим агрегатный индекс товарооборота, показывающий изменение показателей разнородной продукции:

,

где n – число товаров, входящих в рассматриваемую группу.

В статистике принята упрощенная форма записи экономических индексов, без указания подстрочного (или надстрочного ) индекса номера товара, так как суммирование всегда осуществляется по всем товарам, входящим в товарную группу. К тому же по правилам векторной алгебры произведение векторов всегда равно сумме произведений соответствующих элементов векторов (в данном случае объемов и цен по каждой группе товаров) . При таком подходе формула сводного индекса принимает вид:

, i = 1,2,3…n,

где - цена товара i-ой группы в текущем периоде;

- объем товара i-ой группы в текущем периоде;

- цена товара i-ой группы в базисном периоде;

- объем товара i-ой группы в базисном периоде;

- вектор цен товаров n групп в текущем периоде;

- вектор цен товаров n групп в базисном периоде;

- вектор объемов товаров n групп в текущем периоде;

- вектор объемов товаров n групп в базисном периоде;

- объем товарооборота (скалярная величина) по n группам в базисном периоде;

- объем товарооборота по n группам в текущем периоде.

На величину индекса товарооборота оказывают влияние как изменение цен, так и объемов продаж. Для того, чтобы оценить изменение только цен (индексируемой величины), необходимо количество проданных товаров (веса индекса) зафиксировать на каком-либо постоянном уровне. При исследовании динамики таких показателей, как цена, себестоимость, производительность труда, количественный показатель обычно фиксируют на уровне текущего периода. Таким способом получим простую формулу сводного индекса цен:

.

Аналогично рассчитывается сводный индекс физического объема продаж, только индексируемой величиной является количество товаров (записывается на первом месте), а весами выступают цены, фиксируемые на базисном уровне. Формула сводного индекса физического объема продаж имеет вид:

∑∑

Между сводными индексами цен, физического объема продаж и товарооборота существует взаимосвязь, которую можно использовать для проверки правильности расчетов:

Рассмотрим вычисление индексов на примере реализации мясных продуктов (табл.2.16.)

Таблица 2.16

Реализация мясных продуктов на рынке

Рассчитаем индексы:

= 429/451 = 0,951 (или 95, 1%);

Индекс товарооборота равен 0,951, то есть товарооборот сократился на 4.9 %.

Сокращение товарооборота Э = 429-451 = -22 тыс. руб.

= 429/ 393 = 1,092 ( или 109,2);

Индекс цен равен 1.092, то есть цены выросли на 9,2 %.

Потери покупателей от роста цен Э= 429 – 393 = 36 тыс.руб.

= 429/492 = 0,871 (или 87, 1);

Индекс физического объема равен 0, 871, то есть объем продаж сократился на 12, 9 %. Потери продавцов от сокращения объема продаж Э= 429 – 492 = 63 тыс.руб.

Проверим правильность расчетов индексов, используя их взаимосвязь:

I_pI_q = I_pq = 1,092*0,871 = 0,951.

При анализе результатов производственной деятельности эти же сводные индексы называют соответственно индексом стоимости продукции ( ), индексом оптовых цен ( ) и индексом физического объема продукции в натуральном выражении ( ).

Для определения общего изменения уровня себестоимости нескольких видов продукции, выпускаемых предприятием, рассчитывается сводный индекс себестоимости:

,

где z₁ - вектор себестоимости продукции n групп в текущем периоде;

z₀ - вектор себестоимости продукции n групп в базисном периоде;

- сводный индекс себестоимости продукции.

Числитель этого индекса отражает затраты на производство текущего периода, а знаменатель условную величину затрат при сохранении себестоимости на базисном уровне. Разность числителя и знаменателя показывает сумму экономии предприятия от снижения себестоимости (Э):

Э = z₁q₁ – z₀q₁.

Cводный индекс физического объема продукции, взвешенный по себестоимости продукции (I_q), имеет следующий вид:

.

Третьим показателем в этой индексной системе эатрат является сводный индекс затрат на производство (I_zq):

.

Все три индекса взаимосвязаны между собой:

I_zq = I_zI_q.

Индексный метод также широко используется в анализе производительности труда.Возможны два подхода к расчету таких индексов (на основе учета количества продукции, выработанной в единицу времени w, и на основе учета затрат рабочего времени на единицу продукции t. Количество продукции, вырабатываемое в единицу времени (в натуральном выражении), и затраты времени на единицу продукции взаимосвязаны между собой :

.

Основанные на показателях выработки и трудоемкости индивидуальные индексы имеют следующий вид:

;

,

где T- суммарные затраты времени на выпуск данной продукции в человеко-часах, человеко-днях или человеко-месяцев (в последнем случае соответствует общей численности работников).

При расчете сводного индекса производительности труда в стоимостном выражении (по выработке) необходимо количество продукции, произведенной за каждый период, взвесить по каким-либо ценам, принятым за сопоставимые. Такой сводный индекс производительности труда (по выработке) рассчитывается по формуле:

Первая часть представляет собой среднюю выработку в отчетном периоде,вторая –в базисном.

Произведение индекса производительности труда по выработке и индекса затрат рабочего времени приводит к индексу физического объема продукции, взвешенного по цене:

или

.

Сводный индекс производительности труда (по трудоемкости) рассчитывается по данным о трудоемкости различных видов продукции и объемах их производства:

,

где t₀ - вектор трудоемкости продукции в базисном периоде;

t₁- вектор трудоемкости продукции в текущем периоде;

q₁- вектор объемов производства продукции в текущем периоде.

I_t – сводный индекс производительности труда (по трудоемкости).

Знаменатель этого индекса отражает реально имевшие место общие затраты времени на выпуск всей продукции в текущем периоде (T₁). Числитель представляет собой условную величину, показывающую, какими бы были затраты времени на выпуск этой продукции, если бы трудоемкость не изменилась.

Индекс производительности труда связан с индексом затрат рабочего времени (труда) и с индексом физического объема, взвешенным по трудоемкости:

или