ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ГРУПП

Пусть G - группа, а, b - произвольные элементы группы G.

1. (а´b)^-1=b^-1´а^-1

Доказательство. Воспользуемся определением обратного элемента. Покажем, что (а´b)´(b^-1´а^-1)= (b^-1´а^-1) ´(а´b)=е. (*)

Тогда по определению это будет означать, что элемент b^-1´а^-1 является обратным для а´b, то есть (а´b)^-1= b^-1´а^-1. Итак, докажем (*):

(а´b)´(b^-1´а^-1)= а´(b´b^-1)´а^-1=(а´e)´а^-1=а´а^-1=e.

2. (a^-1)^-1=a.

3. Если а´b=а´с, то b=с. Если b´а=c´а, то b=c.

ГРУППЫ СИММЕТРИИ

В дальнейшем, как это принято в геометрии, под преобразованием множества М будем понимать биекцию М на себя (взаимнооднозначное отображение М на М). Так, если f - преобразование плоскости, то, во-первых, различные точки плоскости переходят в различные точки плоскости при отображении f, и, во-вторых, f - отображение плоскости на всю эту плоскость, то есть для любой точки В найдется точка A, переходящая в точку В при отображении f. Примерами преобразований служат любые перемещения, любая гомотетия, подобие. Преобразования конечного множества называются подстановками. Существуют различные способы задания подстановок: схемой, матрицей, графом. Матричный способ прост и удобен, а изображение подстановки c помощью графа обладает хорошей наглядностью. Примеры задания подстановок:

а) схемой

A A A A

B B B B

C C C C

E E E E

б) с помощью матрицы (таблицы)

f₁= , f₂=

в) с помощью графа

В С С

А Е В А

f₁ f₂ Е

Теорема. Пусть G_x - множество всех преобразований множества Х¹Æ, тогда G_x относительно композиции преобразований образует группу.

Доказательство. Мы уже доказывали, что композиция преобразований ассоциативна. Проверим остальные аксиомы группы. Очевидно, что тождественное преобразование е множества X является единичным элементом множества G_x. Обратным элементом для преобразовании aÎG_x является преобразование a^-1ÎG_x такое, что если a(x)=y, то a^-1(y)=х, где x,yÎX. В самом деле,

(aa^-1)(y)=a(a^-1(y))=a(x)=y, то есть aa^-1=e.

Аналогично доказывается, что a^-1a=е. Итак, G_x относительно композиции преобразований является группой.

Преобразование a называют обратимым, если для него существует обратное преобразование a^-1. Геометрические преобразования (биекции) являются обратимыми преобразованиями. Теория групп есть учение об обратимых преобразованиях. Заметим, что наглядно процедура получения обратного преобразования видна на примере подстановки, представленной в виде матрицы. Так, если

a= , то a^-1= ,

то есть a^-1 получается из a заменой строк.

Теперь мы переходим к центральному понятию параграфа - группе преобразований. Иногда некоторые подмножества группы g_x сами являются группами относительно композиции преобразований. Такие подмножества называют группами преобразований.

Ясно, что сама G_х - группа преобразований.

Теорема. Для того, чтобы подмножество G_x’ÌG_x было группой преобразований, достаточно, чтобы:

1) для любых a, bÎG_x’, a·bÎG_x’;

2) для всякого aÎG_x’ и a^-1ÎG_x’ (доказать самостоятельно).

Поэтому группу преобразований множества X часто определяют как множество преобразований множества X, обладающее 1 и 2 свойствами.

Примеры группы преобразований. Множество всех перемещений плоскости, множество всех преобразований подобия являются группами преобразований плоскости.

Иногда свойства 1 и 2 называют свойствами замкнутости относительно композиции и перехода к обратному элементу. Не следует думать, что такое свойство замкнутости относительно композиции и перехода к обратному элементу присуще любому множеству преобразований. Например, множество осевых симметрий этим свойством не обладает: при композиции двух осевых симметрий получаются повороты или параллельные переносы, а не осевые симметрии. Заметим, что из условий 1 и 2 вытекает, что любая группа G преобразований содержит тождественное преобразование Е: она содержит хотя бы одно преобразование a, поэтому и a^-1ÎG, тогда и преобразование a^-1a=EÎG.

Важным примером группы преобразований является группа симметрий. Ее изучение - одна из главных задач этого параграфа.

Греческое слово “симметрия” в переводе на русский язык означает “соразмерность”. В древности симметричными называли фигуры, имеющие ось или центр симметрии. Многие архитектурные сооружения симметричны, вращающиеся части машин делают центрально-симметричными, причем ось вращения проходит через центр симметрии - это обстоятельство обеспечивает уравновешенность возникающих при вращении сил. Отличить симметричную фигуру от несимметричной легко, в этом нам помогает интуиция. Она подсказывает нам, что квадрат симметричнее ромба, а окружность симметричнее эллипса. Но одной интуиции бывает недостаточно, и важным инструментом при изучении свойств симметричных фигур являются так называемые группы симметрии. Введем общее понятие симметрии: назовем симметриями фигуры все ее перемещения, переводящие фигуру в себя. Например, ромб ABCD переходит в себя при осевых симметриях относительно прямых АС и BD. Поэтому он переходит в себя и при композиции этих симметрий то есть при центральной симметрии относительно точки О - точки пересечения диагоналей. Прямоугольник со сторонами разной длины имеет лишь четыре оси симметрии, а квадрат - восемь осей симметрии. Чем богаче множество симметрий фигуры, тем она симметричней. Что же такое группа симметрий геометрической фигуры?

Теорема. Пусть F - геометрическая фигура и G_F - множество ее симмeтрий. Тогда относительно композиции преобразований G_F образует группу.

Доказательство. Если f и g - элементы G_F, то они переводят фигуру F в себя. Но тогда и преобразование fg переводит фигуру F в себя. Вместе с каждым преобразованием f множеству G_F принадлежит и преобразование f^-1, обратное f. Ведь если f отображает фигуру F на себя, то тем же свойством обладает и f^-1 - при этом преобразовании все точки фигуры F возвращаются в исходное положение, то есть в точки той же фигуры. Итак, мы доказали, что множество G_F симметрий фигуры вместе с любыми двумя преобразованиями f и g содержит и их композицию fg, а вместе с каждым преобразованием f - обратное ему преобразование f^-1, то есть является группой преобразований.

В дальнейшем мы будем говорить не “множество симметрий фигуры F” а “группа симметрий фигуры F”, рассматривая множество симметрий фигуры относительно композиции преобразований. Итак, множество G_F всех перемещений пространства (или плоскости), при которых данная фигура F отображается на себя с операцией композиции перемещений, образует группу симметрий фигуры F. Эта группа служит характеристикой cиммeтричности фигуры.

Группа симметрий окружности состоит из всех поворотов вокруг центра О окружности и всех осевых симметрий S_l c осями l, проходящими через точку О.

Квадрат имеет следующие виды симметрии:

а) тождественное перемещение е;

б) четыре осевые симметрии относительно средних линий и диагоналей квадрата;

в) повороты =Z_O. Каждой из перечисленных симметрий квадрата ABCD соответствует подстановка на множестве его вершин:

n m l

B A

o

k

c D

e= ;

.

Для разностороннего треугольника группа симметрий состоит лишь из одного элемента - тождественного преобразования. У равнобедренного, но не равностороннего треугольника кроме тождественного преобразования в группу симметрий входит осевая симметрия относительно высоты, проведенной к основанию.

B B

A C A C

D

У равносторонних треугольников группа симметрий состоит из шести элементов: тождественное преобразование, три осевые симметрии относительно высот и два поворота , где О - центр треугольника, то есть точка пересечения этих высот.

B

O

A C

Докажем, что у равностороннего треугольника АВС нет иных симметрий, кроме описанных выше. Это следует из того, что при любой симметрии вершины треугольника переходят в вершины того же треугольника, а точки А, B, C можно переставлять друг с другом лишь шестью различными способами:

А®A A®B A®A A®C A®B A®C

B®B B®A B®C B®B B®C B®A

C®C C®C C®B C®A C®A C®B

Рассмотрим группы симметрий для четырехугольников. Если в четырехугольнике нет сторон одинаковой длины, то, как и разносторонний треугольник, он имеет лишь одну симметрию - тождественное преобразование. Предположим, что у четырехугольника есть две смежные равные стороны, например АВ и AD.

B

A C l

D

Тогда при симметрии относительно биссектрисы угла BAD точка А остается неподвижной, а точки В и D меняются местами. Поэтому, чтобы это преобразование было симметрией четырехугольника, точка O должна остаться неподвижной, то есть лежать на оси симметрии. В этом случае стороны CD и СВ равны.

Рассмотрим группу симметрий ромба. Множество симметрий ромба состоит из тождественного преобразования (е), вращения ромба вокруг центра на 180^° (a), симметрий ромба относительно диагоналей (b и с).

B

A C

D

Построим таблицу Кэли группы симметрий ромба, не являющегося квадратом. Она такова:

Множество симметрий прямоугольника состоит из четырех перемещений: тождественного, центральной симметрии и двух осевых симметрий.

Упражнения

1. Доказать, что множество всех гомотетий с одним и тем же центром есть группа преобразований.

2. Будет ли множество параллельных переносов плоскости группой преобразований?

3. Пусть f,g - преобразования из группы преобразований G_Ф фигуры Ф. Доказать, что (fg)^-1=g^-1f^-1. Верно ли это равенство в абстрактной группе G, то есть когда f,gÎG?

4. Найти композицию преобразований (fg)^-1f.

5. Образует ли группу множество, состоящее из тождественного преобразования и осевой симметрии S_l?

Отметим, что множество различных групп преобразований бесконечно и каждая из них задает свою геометрию. Таким образом, существует бесконечно много разных геометрий. Например, если G - группа симметрий некоторой фигуры, то G есть группа преобразований этой фигуры, и поэтому она задает некоторую своеобразную “геометрию” этой фигуры. Такая групповая точка зрения на геометрические свойства фигур широко используется в физике атома и элементарных частиц. Мысль о том, что каждая группа преобразований определяет свою геометрию, была впервые высказана немецким математиком Клейном в лекции, которую он прочел в 1842 году при вступлении на должность профессора Эрлангентского университета. В этой лекции Клейн призвал переосмыслить все отдельные “геометрии” на основе групповой точки зрения. С тех пор эту точку зрения математики называют эрлангентской программой.

ПОДГРУППЫ

Определение. Пусть G - группа, НÌG, H называется подгруппой группы G, если выполняются два условия:

1. Для всяких а₁, а₂ÎН следует, что а₁а₂ÎН.

2. Для произвольного аÎН следует, что а^-1ÎН.

Пример. Рассмотрим, является ли подгруппой группы Z относительно сложения множество H={x½x=3q, qÎZ}.

Проверим: по определению, 1) 3q₁+3q₂ = 3(q₁+q₂) = 3q Î H; 2) (3q)^-1 = -3qÎH. Следовательно, Н - подгруппа группы Z по сложению.

Предложение. Пусть G - группа, Н - ее конечное подмножество и оно замкнуто относительно умножения, тогда Н - подгруппа группы G.

Доказательство. Докажем замкнутость Н относительно существования обратного элемента. Возьмем произвольный элемент аÎН. Если а=е, то а ^-1=е и а^-1 ÎН. Пусть а¹е. Рассмотрим степени элемента а: a, a², a³,..., a^m... - все эти элементы принадлежат Н (так как Н замкнуто относительно умножения по условию) Так как множество Н конечно, то все эти элементы различны быть не могут. Значит, существуют n,mÎÀ такие, что aⁿ=a^m. Пусть m>n ( в случае m<n доказательство проводится аналогично). Тогда m=n+kÞ a^n+k=aⁿ Þaⁿa^k=aⁿeÞ a^k=eÞ aa^k-1=e.

Следовательно, a^k-1 - обратный для а, то есть а^-1=a^k-1. Но aÎH, следовательно, a^k-1 ÎH, то есть a^-1ÎH. Таким образом, для произвольного aÎH получили a^-1ÎH.

СВОЙСТВА ПОДГРУПП

1. Пересечение подгрупп группы G является подгруппой группы G. Пусть {Н_j}_jÎT - множество подгрупп группы G. Покажем, что их пересечение

- тоже подгруппа.

Доказательство

1. Покажем, что если два элемента принадлежат , то их произведение тоже принадлежит . Если x,yÎ , то х, y принадлежат всем H_j, и, следовательно, xy принадлежит всем Н_j, так как Н_j - подгруппы, тогда xyÎ .

2. Покажите самостоятельно, что если xÎ , то и x^-1Î .

Упражнения

1. Определить, является ли группой каждое из следующих множеств, относительно указанных операций:

а) множество всех квадратных матриц второго порядка относительно умножения;

б) множество всех неособенных квадратных матриц второго порядка относительно умножения;

в) множество диагональных матриц второго порядка относительно умножения G= ;

г) множество всех матриц вида G= .

2. Какие из приведенных выше групп являются подгруппами друг друга?

3. Является ли подгруппой группы целых чисел относительно сложения множество Н следующего вида: H={x½x=5q, qÎZ}?

4. Доказать, что множествоJ_M всех биективных преобразований множества М есть группа относительно композиции преобразований.

5. Докажите утверждение: для того, чтобы непустое множество Н (НÌG) было подгруппой группы G, необходимо и достаточно, чтобы Н было группой относительно действия, введенного в G.

Одним из важнейших типов групп являются циклические группы. Определение. Пусть G - группа, МÌG. Подгруппой, порожденной множеством М, называется множество [М]= , МÌН_j , где Н_j - подгруппы группы G.

Другими словами, это пересечение всех подгрупп группы G, которые содержат М.

Пример. Пусть G - группа целых чисел по сложению. Найти подгруппу, порожденную множеством М={5,7}.

Решение. Так как 5 и 7 - взаимно просты, то существуют k₁,k₂ÎZ, такие, что 1=k₁´5+k₂´7. Заметим, что если какая-нибудь подгруппа Н группы G содержит числа 5 и 7, то она содержит и числа k₁´5 и k₂´7 (объясните). Следовательно, 1Î[{5,7}]. Возьмем произвольное tÎZ, тогда t=t´1Î[{5,7}]. Итак, мы получили, что [(5,7)]=Z.

Теорема. Пусть G - группа, МÌG. Тогда подгруппа, порожденная множеством М, состоит из тех и только тех x, которые представимы в виде [М]={xÎG½x=а₁´ а₂ ´...´a_n , где а_iÎМ или а_i^-1Î М для всех i=l,...,n}.

Доказательство. Нужно показать равенство двух множеств. (Два множества равны тогда и только тогда, когда каждый элемент первого множества принадлежит второму, и наоборот.)

1. Пусть xÎT={xÎG½x=а₁´ а₂ ´...´a_n , где а_iÎМ или а_i^-1Î М}. Покажем, что xÎ[М]. По определению, [М] - пересечение всех подгрупп, содержащих М. Пусть Н - произвольная подгруппа, содержащая М. Покажем, что xÎН (тогда получим, что х лежит в пересечении всех Н, содержащих М, а следовательно, хÎ[М]). Доказывать будем по индукции относительно числа множителей в выражении для х.

Пусть n=1. Тогда x=а₁. По условию, а₁Î М или ÎМ. Если а₁Î М , то

x= а₁Î М ÌН, следовательно, xÎН. Если ÎМÌН, то, так как Н - подгруппа, ( )^-1ÎН, то есть a₁ÎH и значит, xÎН.

Предположим, что теорема верна для всех k<n, и докажем для k=n.

Пусть x=(а₁а₂ ...а_n-1)a_n, где а₁а₂ ...а_n-1ÎН по индуктивному предположению. По условию, a_nÎМÌН (тогда сразу получаем, что xÎН) или ÎМÌН. Так как Н - подгруппа ,то ( )^-1=a_nÎН. Следовательно, получаем и в этом случае, что xÎН, поэтому xÎ[M]. То есть ТÌ[М].

2) Нужно показать, что [М]ÌТ. Для этого сначала нужно проверить, будет ли множество Т подгруппой группы G (докажите это самостоятельно, пользуясь определением и свойствами групп). Из построения множества Т следует, что МÌТ. А так как [М] - пересечение всех подгрупп группы G, содержащих М, и Т - одна из таких подгрупп, значит, [М]ÌТ. Таким образом, равенство двух множеств доказано.

Определение. Пусть G - группа, aÎG, множество [а] называется циклической подгруппой группы G, порожденной элементом а.

Определение. Группа G называется циклической группой, если она совпадает c какой-нибудь своей циклической подгруппой, то есть, если существует аÎG такой, что G=[а].

Примечание. По определению [a]={...,a^-3,а^-2,а^-1,а⁰ =е,а¹,а²,а³,...}. Пусть xÎ[a], значит

x= а₁а₂ ...а_n-1a_n=aa...aa^-1...a^-1=a^m, mÎZ.

Пример. Группа целых чисел относительно сложения является циклической, так как Z=[1].

[1] - это пересечение всевозможных подгрупп группы Z, которые содержат 1. Но если подгруппа содержит 1, то по определению подгруппы она содержит и обратный элемент (-1). Следовательно, (-1)Î[1]; 1+(-1)=0, то есть 0Î[1]; 1+1=2, то есть 2Î[1] и т.д. Аналогично с отрицательными числами. Итак, получили, что [1]=Z.

Теорема. Подгруппа циклической группы - циклическая.

Доказательство. Пусть G - циклическая группа, порожденная элементом a (G=[a]), H=[a], Н - подгруппа. Покажем, что Н - циклическая подгруппа. Для этого надо найти такой элемент bÎН, что Н=[b]. Так как НÌG, а G - циклическая группа, то Н состоит из целых степеней а. Если это только а⁰ (объясните, почему по крайней мере а⁰ должен принадлежать Н), то Н - циклическая подгруппа, порожденная элементом а⁰. Если в Н есть не только а⁰, то есть некоторая положительная степень элемента а (почему?). Рассмотрим a^kÎ H, k¹0. Если k>0, то это требуемое. Если k<0, тогда, так как Н - подгруппа, то (a^k)^-1=a^-kÎ Н, -k>0. Следовательно, положительная степень элемента a в Н есть. Рассмотрим множество всех положительных показателей, с которыми а входит в Н. Это непустое множество. В нем, по аксиоме минимальности, существует наименьший элемент. Пусть это n₀ ( ÎН). Если 0<k<n₀ , то a^kÏ Н. Положим b= . Докажем, что H=[b] (надо доказать равенство двух множеств).

1. Покажем, что [b]ÌН. Пусть xÎ[b], следовательно, x=b^t, где tÎZ. Но Н - подгруппа, bÎН, следовательно, x=b^tÎН. Мы взяли x из [b] и

получили, что xÎН.

2. Теперь покажем, что НÌ[b]. Пусть xÎН, следовательно, x=a^m. Разделим m на n₀ с остатком: m=n₀q+r, где 0£r<n₀. Если r=0, то

a^m =( )^q=b^qÎ[b]. Допустим, что r¹0, следовательно, r>0. Равенство a^m =( )^q a^r домножаем на ( )^-q слева, получим ( )^-qa^m =a^r, где a^mÎН, ÎН, значит ( )^-q ÎН. Получили, что a^rÎ Н. Но r<n₀, а n₀ - минимальная положительная степень элемента а, содержащаяся в Н. Следовательно, получено противоречие.

Таким образом, мы доказали, что m=n₀q и x=a^m =b^q Î[b].

Определение. Циклической группой k-го порядка называется группа, состоящая из k элементов.

Упражнения

1. Найти подгруппу группы G, порожденную множеством М={7,11}, где

а) G - группа целых чисел относительно сложения;

б) G - группа вещественных чисел (R\{0}) относительно умножения.

2. Показать, что циклическая подгруппа является абелевой группой, но исходная группа абелевой может не быть.

3. Докажите следующие утверждения:

1) пусть G=[a]. Если для всех m,nÎÀ из того, что m¹n следует, что a^m¹aⁿ, то G - бесконечная группа;

2) пусть G=[a]. Если существуют m,nÎZ такие, что m¹n, но a^m=aⁿ, то:

а) существует pÎÀ такое, что a^p =е.

б) G = {е,а,a² ,...,a^k-1}, где k - наименьшее натуральное число такое, что a^k=e.

в) элементы е,а,a² ,...,a^k-1 - различны.

4. Найти циклическую подгруппу группы комплексных чисел (C\{0}) по умножению, порожденную элементом i.

5. Пользуясь определением циклической группы k-го порядка и утверждением б) (см.упр.3), написать циклические группы 6-го и 8-го порядка. Выписать все подгруппы этих групп.

6. G - группа несобственных квадратных матриц второго порядка. Найти циклические подгруппы, порожденные матрицами:

а) ; б) ; в) .