Несинусоидальными токами и напряжениями

Если в линейной электрической цепи действует несинусоидальный периодический источник ЭДС (рис. 4.4), то расчет токов и напряжений в такой цепи выполняется следующим образом.

Заданную несинусоидальную ЭДС представляют в виде разложения в ряд Фурье: и на эквивалентной схеме замещения (рис. 4.5, а) представляют в виде последовательного соединения нескольких синусоидальных источников ЭДС различной частоты.

Расчет линейной цепи с несинусоидальными ЭДС и токами выполняется методом наложения и сводится к определению токов и напряжений в нескольких частичных схемах (рис. 4.5, б, в, г). То есть расчет сводится к решению k задач с синусоидальными ЭДС и токами, где k – число синусоидальных составляющих ряда Фурье, и одной задачи с постоянными ЭДС и токами, при условии наличия нулевой гармоники в аналитическом разложении несинусоидальных величин в ряд Фурье. В пределах одной гармоники расчеты можно выполнять в комплексной форме, так как все напряжения и токи в частичной схеме изменяются во времени по синусоидальному закону.

При расчете гармонических составляющих необходимо иметь в виду, что сопротивления индуктивных и емкостных элементов зависят от частоты, то есть от порядкового номера гармоники: .

Активное сопротивление при достаточно низких частотах и малых сечениях проводов можно считать независящим от номера гармоники.

В частичной схеме (рис. 4.5, б), являющейся схемой замещения по постоянной составляющей (ω = 0) сопротивление индуктивного элемента ωL равно нулю, поэтому постоянная составляющая напряжения u_L⁽⁰⁾ также равна нулю. Сопротивление емкостного элемента 1/(ωС) равно бесконечности, то есть он представляет собой разомкнутый участок цепи. Поэтому постоянная составляющая тока ветви, содержащей конденсатор, i_C⁽⁰⁾ отсутствует.

В цепи (рис. 4.5, в) действует ЭДС первой гармоники е⁽¹⁾(t)= . Запишем комплексную амплитуду этой ЭДС: .

Комплексное сопротивление цепи:

.

Комплексная амплитуда тока:

.

Тогда мгновенное значение тока первой гармоники:

.

ЭДС второй гармоники (рис. 1.5, г):

е⁽²⁾(t)= .

Комплексная амплитуда ЭДС второй гармоники:

.

Комплексное сопротивление цепи второй гармоники:

.

Комплексная амплитуда тока второй гармоники:

.

Тогда мгновенное значение тока второй гармоники:

.

Аналогичные расчеты выполняются и для остальных гармоник.

Для k-той гармоники (рис. 4.5, д):

е^(k)(t)= .

Комплексная амплитуда ЭДС k-той гармоники:

.

Комплексное сопротивление цепи:

.

Комплексная амплитуда тока:

.

Мгновенное значение тока k-той гармоники:

.

Мгновенное значение несинусоидального тока цепи определяется как алгебраическая сумма токов всех гармоник:

i(t) = i⁽⁰⁾(t) + i⁽¹⁾(t) + i⁽²⁾(t) +…+ i^(k)(t) = = .

Аналогичным образом выполняется расчет несинусоидальных напряжений на отдельных участках электрической цепи.

Для построения графика временной зависимости несинусоидальной функции строят в одних осях координат графики синусоидальных составляющих всех гармоник. При вычерчивании кривых отдельных гармоник необходимо учитывать тот факт, что период гармоники обратно пропорционален ее номеру. А так как по оси абсцисс откладывают величину ωt, то при построении графика k-той гармоники несинусоидальной функции ее начальная фаза делится на номер гармоники.

Таким образом, расчет токов и напряжений в линейных цепях при воздействии несинусоидальной ЭДС выполняется в следующем порядке.

1. Заданные несинусоидальные ЭДС представляют в виде разложения в ряд Фурье.

2. Проводят расчет методом наложения, то есть рассчитывают токи и напряжения в цепи для каждой составляющей ряда в отдельности.

3. Записывают мгновенные значения токов и напряжений, алгебраически суммируя мгновенные значения всех гармонических составляющих.