Оптимальные партии поставки для однопродуктовых моделей

Модель управления запасами в условиях детерминированного спроса – это модель где интенсивность поступления требований предполагается известной и постоянной во времени. Как известно, на практике спрос почти никогда нельзя указать с определенностью; вместо этого его следует описывать в вероятностных терминах.

Детерминированные модели интересны тем, что позволяют познакомиться с методами анализа, используемыми в более сложных системах. Кроме того, результаты, полученные с помощью этих моделей, дают качественно правильные суждения о поведении системы даже при отказе от гипотезы детерминированного спроса.

На рис.4.1. показан самый общий случай образования (ОА), расходования (АК) запаса, затем возможное образование дефицита (КD) и его удовлетворения (DS). В точке S вновь начинается формирование запаса, так что временной отрезок OS представляет собой продолжительность рассмотренного цикла.

Рис. 4.1. Схема движения запасов для детерминированного спроса.

Таким образом, на рис.4.1. показана схема однопродуктовой модели с учетом неудовлетворенных требований и конечной интенсивностью потребления и расходования запаса, где по оси ординат откладывается величина текущего запаса I, а по оси абсцисс – время t.

Обозначим:

l – интенсивность поступления;

n – постоянная интенсивность потребления;

t₁ – продолжительность формирования запаса со
скоростью l [ед. запаса/ ед. времени];

t₂ – время расходования запаса со скоростью n;

t₃ – время образования дефицита со скоростью n;

t₄ – время погашения дефицита со скоростью l.

Тогда (l-n) – интенсивность (скорость) пополнения запаса.

Максимальный уровень (объем) наличного запаса AB=Y составит:

(4-1)

Максимальный уровень дефицита ED=y составит:

(4-2)

Продолжительность цикла поставки очередной партии или время возобновления запаса :

(4-3)

Так как спрос удовлетворяется полностью, но не всегда своевременно, то величина партии поставки :

(4-4)

Выразив , и через и из (4-1) и (4-2) соответственно, получим:

(4-5)

Общие издержки при работе этой системы обеспечения запасами складываются из:

· издержек от размещения запасов, которые не зависят от величины ;

· издержек от содержания запасов ;

· издержек от наличия дефицита .

Величина:

,

(4-6)

где – удельные расходы на хранение и иммобилизацию средств

[ руб./ ед. 60 минут].

Потери из-за отсутствия продукции, на которую предъявляются требования, или от дефицита считаем пропорциональными средней величине задолженных требований и времени их осуществления:

,

(4-7)

где — удельные издержки дефицита, т.е. потери, связанные с нехваткой единицы продукции в единицу времени.

Учитывая полученные выражения , и , получим формулу для общих издержек в системе в течении цикла :

,

(4-8)

отсюда удельные издержки за цикл составят:

(4-9)

Найдем оптимальные значения τ₂^* и τ₃^* из условия, что:

и

(4-10)

Условия (4-10) позволяют получить систему двух уравнений с двумя неизвестными и :

(4-11)

Обозначим и разделим первое из уравнений системы (4-11) на второе, найдем:

.

Откуда , и тогда

(4-12)

Подставив (4-12) в любое из уравнений системы (4-11), получим оптимальные значения:

	(4-13)
	(4-14)

Учитывая (4-13) и (4-14), из (4-5) получим оптимальные значения еще двух составляющих продолжительности цикла возобновления запасов:

	(4-15)
	(4-16)

Подставив τ₂^*и τ₂^*в формулы (4-5) и (4-4), получим оптимальные значения цикла повторения заказа и партии однопродуктовой поставки:

τ_ц^*=√ 2·K/(S·n)·√(1+ S / d)/ (1-n/l)= S₁/B₁ (4-17)

q^* = √ 2·K·n/S·√(1+ S / d)/ (1-n/l)= S₂/B₁ (4-18)

Аналогично, подставив значения τ₂^* и τ₃^*из (4-13) и (4-14) в (4-9), определим оптимальные удельные издержки системы:

L_уд^*=√ 2·K·n·S√ (1-n/l)/(1+ S / d)= √ 2·K·n·S· B₁ (4-19)

И, наконец, находим оптимальные значения максимального уровня наличного запаса и задолженного спроса:

Y^*= √ 2·K·n/S·√ (1-n/l)/(1+ S / d)= √ 2·K·n/(S · B₁) (4-20)

y^*= S / d·√ 2·K·n/S·√ (1-n/l)/(1+ S / d)= S / d·√ 2·K·n/(S · B₁ ) (4-21)

Общие оптимальные издержки системы за время возобновления запаса составят:

L_общ ^*= L_уд^* ·τ_ц^* (4-22)

Модель с учетом неудовлетворенных требований при конечной интенсивности поступлений можно широко применять при:

1. управлении поставками материальных ресурсов;

2. определении оптимальной величины запуска деталей в производство с учетом переналадок на одном и том же технологическом оборудовании.

Во втором случае K – это издержки, связанные с переналадками. Предполагается, что они не зависят от величины выпускаемой партии и порядка запуска деталей в производство, l – интенсивность выпуска (производительность),
τ₁+ τ₄ – время, затраченное на производство определенного типа изделий.

Из уравнений (4-13) – (4-22) можно получить ряд других частных моделей:

a) при большой интенсивности пополнения, когда вся заказанная партия поступает одновременно; это значит, что l>>n и тогда можно принять n/l®0.

b) при больших штрафах за допущение дефицита S/d®0, т.е. дефицит недопустим (d>>S).

c) когда пункты а) и b) действуют одновременно. т.е. n/l®0, S/d®0, тогда имеем:

q^* = √ 2·K·n/S

τ_ц^*=√ 2·K/(S·n)

L_уд^*=√ 2·K·n·S

Последняя модель в отечественной и зарубежной литературе получила название Уилсона.

Применяя формулы (4-17) – (4-19), можно показать, что за счет разумного компромисса между затратами на содержание и потерями от дефицита можно уменьшить общие затраты в единицу времени в √1+S/d раз. При n/l®0 и высоких штрафах за дефицит рассматриваемая модель превращается в модель Уилсона.