Теоретико-множественный подход к описанию систем

Для получения математической модели процесса функционирования системы, чтобы она охватывала широкий класс реальных объектов, в общей теории систем исходят из общих предположений о характере функционирования системы:

1) система функционирует во времени; в каждый момент времени система может находиться в одном из возможных состояний;

2) на вход системы могут поступать входные сигналы;

3) система способна выдавать выходные сигналы;

4) состояние системы в данный момент времени определяется предыдущими состояниями и входными сигналами, поступившими в данный момент времени и ранее;

5) выходной сигнал в данный момент времени определяется состояниями системы, относящимися к данному и предшествующим моментам времени.

Первое предположение отражает динамический характер процесса функционирования в пространстве и времени. При этом процесс функционирования протекает как последовательная смена состояний системы под действием внешних и внутренних причин. 2-е и 3-е – отражают взаимодействие системы с внешней средой. В 4-м и 5-м предложениях отражается реакция системы на внутренние факторы и воздействия внешней среды: последействие и принцип физической реализуемости.

Последействие – это тенденции, определяющие поведение системы в будущем, зависят не только от того, в каком состоянии находится система в настоящий момент времени, но и в той или иной степени от ее поведения в предыдущие моменты времени.

Принцип физической реализуемости: система не реагирует в данный момент времени на «будущие» факторы и воздействия внешней среды.

Для описания систем ее подсистемы (или элементы) перечисляются с помощью некоторых множеств V_i и устанавливается характер связей между ними.

S Ì Ä {V_i, iÎI},где

V_i – i-тая компонента декартова произведения Ä V_i, называемая объектом системы S, I-множество индексов. Или иначе:

S Ì V₁´V₂´V₃´...´V_m

Абстрактно-алгебраические модели описывают связи как семейство отношений (унарных, бинарных ... n-арных)

R = {R₁,R₂,...,R_n}

Под отношением, введенным на множестве А, понимается подмно­жество декартового произведения конечной степени Aⁿ=A´A´....´Aданного множества A, т.е. подмножество кортежей (a₁, a₂,… a_n) из n элементов множества A.

Подмножество RÌAⁿ называется n-местным или n-арным отношением в множестве A. Число n называется рангом или типом отношения R. Множество всех n-арных отношений в множестве A относительно операций È и Ç является булевой алгеброй.

Примеры отношений на множестве V «Люди»:

унарное отношение «мужчины»: R={vÎV | пол(v)=мужской}

бинарное отношение «старше»: R={(v₁,v₂)ÌV² | возраст(v₁)>возраст(v₂)}

трехместное отношение «являются родителями»: {тройка, где 1-й элемент – отец, второй – мать, третий – ребенок}

Функциональные модели определят связи как множество отображений.

Если множество индексов I конечно, то разобьем его два подмножества I_u и I_y. В общем случае пересечение этих подмножеств может быть не пусто. I_u Ì I и I_y.Ì I. Множество U=Ä{V_i | iÌI_u} назовем причинами, а множество Y=Ä{V_i | iÌI_y} назовем следствиями. Тогда система S Ì U´Y. Система S называется функциональной, если она представляется в виде отображения S: U®Y.

Временные модели в качестве одного из объектов системы S вводят множество моментов времени Т.

Если элементы одного из объектов системы есть функции, например n: T_n®V_n, то этот объект называют функциональным. В случае, когда области определения всех функций для данного объекта V одинаковы, т.е. каждая функция отображает T в V, n: T®V, то T называется индексирующим множеством для n. Если индексирующее множество линейно-упорядочено, то его называют множеством моментов времени. Функции, определенные на множестве моментов времени, принято называть функциями времени. Объект, элементами которого являются временные функции, называют временным объектом, а системы определенные на временных объектах – временными системами.